— 159 — 
ogni gruppo minore contenuto in un gruppo transitivo d’ordine e 
grado uguali, quando e soltanto quando le sostituzioni del gruppo 
transitivo siano permutabili a quelle del gruppo minore. 
II. Della proprietà anzidetta godono altresì i prodotti della so- 
stituzione H' per quelle del gruppo transitivo. 
Siano ordinatamente: 
(99 Ag 0 GO n E RR 8 (2) 
i periodi determinati da un gruppo minore d’ordine n contenuto in un gruppo tran- 
sitivo d’ordine mn e di grado mn, e si consideri la funzione variabile: 
VESTI e e (RE o NSIETOOIO gpl) AD io GGI 
Si chiami questa V' o V” secondochè le sostituzioni del gruppo maggiore, sono 
o non sono permutabili a quelle del gruppo minore. La sostituzione H' e i prodotti 
di essa per le sostituzioni del gruppo maggiore, non turberanno il valore delle fun- 
zioni V' e saranno perciò contenuti nel gruppo delle sostituzioni comuni a queste 
funzioni. i 
Ma, nè la sostituzione H' nè alcuno dei prodotti di essa per le sostituzioni del 
gruppo maggiore, potranno appartenere al gruppo di alcuna delle funzioni V". 
Abbiamo già trovato che il numero delle 3 di second’ordine eguaglia l’ordine 
del gruppo contenuto in (T) e composto di sostituzioni permutabili a tutte quelle 
di (T). Adunque, se il gruppo (T) sia composto di sostituzioni fra loro permutabili a 
due a due, le sostituzioni 9 saranno tutte di second’ordine. D'altronde, detta H la 
sostituzione fondamentale, la 3, è data dall’eguaglianza: 
SLI 
Sarà adunque: 
T,(®) == Hd, 7 
Tutte le sostituzioni del gruppo potenziale saranno per ciò comprese nella oriz- 
zontale: 
HH o HSw, 
nella quale, 31,92, ....9u sono simboli di sostituzioni di second’ordine comprendenti 
la sostituzione H. Le sostituzioni: 
DRITTI 
sono adunque sostituzioni di simmetria (') comuni a tutte le sostituzioni del gruppo 
potenziale. Otteniamo così il teorema: 
1l gruppo transitivo d’ordine megrado u,in isomorfismo oloe- 
drico con un gruppo di sostituzioni a dueadue permutabili, è rap- 
presentabile con i prodotti di p sostituzioni di second’ordine per 
una qualsivoglia fra esse. 
E poichè un gruppo al quale convenga la forma anzidetta è composto di sosti- 
tuzioni fra loro permutabili a due a due (*), concluderemo che: 
(') La ragione di codesta denominazione si ritrova nella terza parte di una mia Memoria inse- 
rita nell’ Annuario del r. Istituto tecnico di Roma, anno 1882. Basterà qui accennare che ognuna 
delle 3 inverte tutte le sostituzioni del gruppo potenziale, le quali si ottengono moltiplicando per 
tutte le $ una qualunque di esse. 
(*) Anuuario del r. Istituto tecnico di Roma. A. 1882, 
