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Lo studio dei gruppi, composti di sostituzioni fra loro per- 
mutabili a due a due, si riduce per isomorfismo oloedrico a quello 
dei gruppi transitivi d’ordinoe e grado eguali, che possono otte- 
°nersi moltiplicando una serie di sostituzioni di second’ordine per 
una di esse. 
Consideriamo la funzione variabile: 
Ne= CA dg 0000 Ga + AR dg ceo. gilt Hd °.ve0. + 9) deg) vescia SGA(G0) 
occorsa precedentemente nella considerazione dei gruppi transitivi d’ordine e grado 
eguali. Se cotali gruppi sono composti di sostituzioni fra loro permutabili a due a 
due, non ha luogo la distinzione delle fanzioni V nelle due specie V' e V”, ma tutte 
le funzioni V sono evidentemente comprese nella specie V'. Consideriamo adunque le 
funzioni VW. Esse ammettono le sostituzioni fisse di second’ordine: 
DINAR TI 
e perciò ammettono evidentemente i prodotti che si ottengono dalla moltiplicazione 
delle sostituzioni istesse per una qualunque fra esse. Ma, allorquando il gruppo tran- 
sitivo non sia esclusivamente composto di sostituzioni di second’ordine, siffatti pro- 
dotti, e le sostituzioni: $1,92,.... 9 formano un gruppo d’ordine 2y, ('). Adunque: 
« Dato un gruppo transitivo d’ordine uy e di grado u composto di sostituzioni 
fra loro permutabili a due a due, esiste un gruppo d'ordine 2u contenuto nel gruppo 
delle sostituzioni comuni a tutte le funzioni V del gruppo transitivo ». 
Dalla forma HT,(?) che si addice a tutte le sostituzioni trasformanti 3, possiamo 
dedurre che la relazione fra il gruppo potenziale e il gruppo antipotenziale, è quella 
stessa che intercede fra un gruppo transitivo d’ordine e grado eguali e il suo con- 
giunto del quale si fa menzione nell’opera di C. Jordan (*). La relazione alla quale 
alludiamo, è quivi espressa dal teorema: « I gruppi transitivi d’ordine e grado eguali 
sono a due a due congiunti per modo, che ciascuno di essi è formato dal sistema 
delle sostituzioni permutabili a quelle del congiunto ». Adunque : 
Il gruppo potenziale e il gruppo antipotenziale sono congiunti 
fra loro per modo, che ciascuno di essi è formato dal sistema delle 
sostituzioni permutabili a quelle dell’altro. 
Quest'ultima proposizione sarà pienamente dimostrata, quando sia stabilito, che 
due sostituzioni quali si vogliano appartenenti ordinatamente al gruppo potenziale e 
al sruppo antipotenziale, sono fra loro permutabili. Siano adunque T,(% e Ty) due 
sostituzioni quali si vogliano del gruppo antipotenziale e del gruppo potenziale, rispet- 
tivamente corrispondenti alle sostituzioni T,, Ty del gruppo fondamentale. Poichè trasfor- 
mando la T,@ mediante la HTy(?) si deve ottenere la sostituzione T,(°), si avrà: 
—1 
(v) (v) (0) | — rp(a) 
(11) ot .( 1) ue . 
—1 
(n) (0) (p) — mila) 
T; .H.T, -H.Ty =T, 4 
Ossia: 
(') Annuario c. s. 
(®?) Jordan, Liv. II-75, Des groupes transitifs dont l'ordre égale le degré. 
sè re ia 
