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Dim. Considerando come altrettanti sistemi (A) i periodi determinati dal gruppo (7) 
nell’interno del gruppo transitivo d’ordine a e di grado p. e detta T", una sostitu- 
zione qualsivoglia di quest’ultimo gruppo, la sostituzione: 9 =H'T", equivarrà, in 
grazia del noto teorema, a scambî fra i periodi considerati come formati da ele- 
menti fra loro connessi invariabilmente, e a successive sostituzioni fra gli elementi 
costituenti l’interno di ciascuno dei periodi. Ma, poichè la sostituzione H' ha comune 
questa proprietà con la 9" altrettanto avverrà della sostituzione T", C. B.D. 
Siano ora: 
Tae Ty 
le varie sostituzioni del gruppo transitivo d’ordine e grado eguali in isomorfismo 
oloedrico col gruppo fondamentale (T). e queste corrispondano ordinatamente alle 
sostituzioni : 
Ta Tp. 
Fissato un gruppo (Y) d'ordine n contenuto in (T'), potremo porre: 
(A) Hr =_= Pim 9 T", = IVO YI 3 coccscore Ty = N) LUI 
essendo P',,P',,......P'y, sostituzioni fra i periodi: A1, Ax, Am, (mt), relativi 
al gruppo (Yy) e considerati siccome composti di elementi invariabilmente connessi 
fra loro, ed 1,22, ... Mu, prodotti di sostituzioni fra gli elementi dei singoli si- 
stemi (A). Supporremo che le sostituzioni P',, P'»,.... P‘w siano state rappresentate 
per sostituzioni fra le lettere: A,, A», .... Am, e dimostreremo che le diseguali fra 
quest ultime, formano un gruppo transitivo d’ ordine m e di grado m. Suppo- 
niamo infatti che la prima e la seconda delle sostituzioni T'x,T', subordinino 
risp. e in qualsivoglia ordine gli elementi del sistema A, a quelli del sistema A}, 
gli elementi del sistema A,” a quelli del sistema A,. Il prodotto T'x . T'g subordi- 
nerà in un certo ordine agli elementi di A, quelli di Ay”. Adunque, se nella serie 
delle eguaglianze (A) i primi fattori dei valori di T" e di Tg sono simbolicamente: 
nio) N ACIROE ) SE 
ASS VECLANVATIIOIE si 
il primo fattore del valore del prodotto Tu.Tg, sarà : 
ASIRRE 
A, n) Ea 
ossia, il prodotto dei primi fattori dei valori di T'x e di T'g. 
Ciò dimostra, che le sostituzioni (P') fra loro diseguali formano un gruppo fra 
le m lettere: A1, Aa,.... Am, ed inoltre che, se ad ognuna delle sostituzioni (T') si 
assegni come corrispondente la (P') dal medesimo indice, al prodotto di due sostitu- 
zioni del gruppo (T) corrisponde il prodotto delle corrispondenti nel gruppo delle (P'). _ 
Il gruppo delle (P') è poi transitivo. Infatti alla sostituzione T) che subordina al 
primo il secondo dei due elementi arbitrarî p, g, corrisponderà la sostituzione P') fra 
le lettere A, subordinante al primo il secondo dei due periodi che contengono quegli 
elementi. Si tratta ora di determinare il numero delle sostituzioni del gruppo (T'), 
le quali corrispondono a una medesima sostituzione di (P'). Ricerchiamo a tal’uopo 
