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la condizione necessaria e sufficiente affinchè le due sostituzioni: T',, T';, corrispon- 
dano a una medesima sostituzione di (P'). 
Supponiamo dunque, che essendo: 
T,= Py, Ti= Pan 
si abbia: Py=P". Sarà: 
TT, = 9. 
Ora, la sostituzione: T'7! T", appartiene al gruppo (T'), ed equivale, a cagione 
dell’ultima eguaglianza, a scambi fra gli elementi dei singoli periodi (A). Essa adunque, 
per ciò che si stabilì nella parte seconda di questo lavoro, rappresenta una sostitu - 
zione (Y;) del gruppo (Y)). Sarà percid: T1Ty=%y;, ovvero: 
DE = IL -Vi. 
Sia ora: T,=T"Yy; Sostituendo in questa eguaglianza i valori di T", e di T”, 
dati dalle (A) otterremo: 
P'ya.mg=P.M% > 
0: 
PPy= Ying, 
eguaglianza che (quando non sia: P'77! P'j«=1), è assurda, dappoichè il suo secondo 
membro permuterebbe soltanto fra loro gli elementi dei singoli periodi, mentre il 
primo permuterebbe fra loro elementi di periodi diversi. Adunque sarà: P'j=P",. 
E per ciò le sostituzioni di (T') le quali hanno comune con la T, la sostituzione 
fra le (A), saranno le: 
Tron 6 Aboca Mama 
È ora facile argomentare che il numero delle sostituzioni (P') fra loro distinte 
è cm, e che ad ogni sostituzione del gruppo delle (P') corrispondono n sostitu- 
zioni del gruppo (T'). 
Stabilito così l’isomorfismo meriedrico fra il gruppo delle sostituzioni (T') e 
quello delle (P'), siccome il gruppo (T') è in isomorfismo oloedrico col gruppo (T), 
rimarrà altresì stabilito l’isomorfismo meriedrico fra il gruppo fondamentale (T) e il 
gruppo (P'). 
Es. Il gruppo potenziale del gruppo alternato: 
1n==ih Ta=(0,c,d), T:=(0,d,c), T,.=(a,0)(c,d),T:=(0,0,c), T =(4,b,d), 
Ty=(4,0,0),Tg= (a,c,d), Te=(a,c)(0d),Ti,= (a, d, d), Tii=(4,d)(c,0),Tir=(0,4,c), 
fra le 4 lettere a, db, c,d, è il seguente: 
Ti=1 T", =(1,7,5) (2,8,4) (3,9,6) (10,11,12) 
T', =(1,2,3) (4,7,10) (5,9,12) (6,8,11) T' = (1,8,12) (2,9,10) (3,7,11) (4,5,6) 
T'3= (1,3,2)/(4,10,7) (5,12,9) (6,11,8) T' = (1,9) (2,7) (3,8) (4,11) (5,10) (6,12) 
T',= (1,4) (2,6) (8,5) (7,12) (8,10) (9,11) T=(1,10,6) (2,11,5) (3,12,4) (7,9,8) 
T'; = (1,5,7) (2,4,8) (3,6,9) (10,12,11) T' == (1,11) (2,12) (8,10) (4,9) (5,8) (6,7) 
- Ty=(1,6,10) (2,5,11)(3,4,12)(7,8,9) T'jx— (1,12,8) (2,10,9) (3,11,7) (4,6,5). 
Esso contiene un gruppo (Y) composto delle sostituzioni: T",,T",, Tg, T 1. In 
fatti i periodi: 
A1="(1,4,9, 11), Aa = (2,6,7,12), A3=(8,5,8,10), 
