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relativi ad esso, si permutano soltanto fra loro per la sostituzione fondamentale: 
H = (2,8) (5,7) (6,10) (8,12). i 
Si vede ora immediatamente che: 
assi Pa = (Ax, An, A3), Pa = (An, Az; Ao), Pu= 1, 
Pa=(A1, Ag, Ao), Po =(A1,A9,A3), Py = (A1, 40, A3), Pe = (An Ag; Aa); 
Pal, P'io=(A,,A3,A2), Pu=1 Pie (A1, Ao, Ag). 
Il gruppo transitivo, d’ordine e grado uguali che è in isomorfismo meriedrico 
col gruppo fondamentale, e relativo al gruppo: (Y)) = (T,, T, Tg, T11) contenuto in (T), 
sarà adunque il seguente: 
P'igggi=1, Passio = (A1, Ao, 43), Passio = (A1, Ag, Ao) 
Aggiungeremo la seguente osservazione: 
Fu dimostrato che i periodi relativi ai gruppi (7) sono, in ordine alla non pri- 
mitività del gruppo, altrettanti sistemi (A). Si può ora dimostrare che: «I periodi 
relativi a gruppi (9) che non siano gruppi (7), non costituiscono giammai sistemi (A) ». 
Infatti, ove siffatti periodi fossero ancora sistemi (A), si potrebbe, per le già 
addotte ragioni, formare un gruppo (P') transitivo d’ordine m e di grado m fra le 
lettere: Aj, Aa, 0. Am, in isomorfismo meriedrico col gruppo dato. Le sostituzioni di 
quest’ultimo, corrispondenti alla sostituzione 1 del gruppo isomorfo, vale a dire, le 
sostituzioni del gruppo (9), formerebbero evidentemente un gruppo (7) (‘). Il gruppo (9) 
sarebbe adunque gruppo (7), contro l’ipotesi. Abbiamo così il: 
Teorema: Affinchè i periodi relativi ad un gruppo minore con- 
tenuto in un gruppo transitivo d’ordine e grado eguali, siano si- 
stemi (A), è necessario e basta, chele sostituzioni delgruppo tran- 
sitivo siano permutabili a quelle del gruppo minore. 
Noteremo esplicitamente che le sostituzioni 9', ossia le: H'T", H'T",.... HT, 
si diportano rispetto ai sistemi di periodi determinati dai gruppi minori contenuti nel 
gruppo (IT), transitivo e d'ordine e grado eguali, in modo ben più speciale di 
quello, ch'è proprio delle sostituzioni del gruppo transitivo. Infatti sebbene le sosti- 
tuzioni di quella serie abbiano comune con queste la proprietà d’essere equivalenti 
a sostituzioni fra i periodi dei gruppi (7), pure a ciascuna delle sostituzioni 9, 
ma non a ciascuna delle sostituzioni del gruppo (I) conviene la proprietà della 
non equivalenza a scambî fra i periodi dei gruppi che non sono gruppi (Y). 
Ad es. quest'ultima proprietà non ispetta alle sostituzioni del gruppo (9) con- 
tenuto in (T'), sebbene le sostituzioni di (9) siano sostituzioni di (T'). 
Nel paragrafo III (3) della Memoria del Capelli, si ragiona dei gruppi transi- 
tivi ed isomorfi al gruppo fondamentale, dovuti a gruppi minori, e del resto quali- 
sivogliano contenuti in quest'ultimo. Vediamo pertanto come quei gruppi possano esser 
costrutti col semplice sussidio del gruppo potenziale e dell’antipotenziale, indipenden- 
temente cioè dall'intervento dei valori di opportune funzioni. A raggiunger lo scopo 
varrà il seguente: 4 
Teorema: « Le sostituzioni di qualsivoglia gruppotransitivo d'or- 
dine e grado eguali, equivalgono a scambî fra i periodi di un 
(') Jordan, Liv. IT. 67. 
