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istesso sistema, del gruppo congiunto». (Ad es: «le sostituzioni del 
gruppo potenziale equivalgono a scambî fra i periodi d’un istesso 
sistema, del gruppo antipotenziale, e viceversa)». 
Dim. Sia S la sostituzione di second’ordine la quale converte ogni sostituzione 
del gruppo transitivo d’ordine e grado eguali, ad es. del gruppo potenziale, nella corri- 
spondente del gruppo congiunto od antipotenziale. Detta T, una sostituzione qual- 
sivoglia del primo gruppo, il prodotto S.T,, trasformerà anch’esso ogni sostituzione 
del primo gruppo nella corrispondente del secondo. Dicansi pertanto Ze X' due cor- 
rispondenti sistemi di periodi del gruppo potenziale e del gruppo antipotenziale risp. 
Poichè tanto S, quanto il prodotto S.T, godono della proprietà di trasformare i pe- 
riodi Gi X in periodi di X', è evidente, chela sostituzione T, trasformerà i periodi 
di X' in periodi dell’istesso XY", vale a dire, permuterà fra loro i periodi di Y°. Segue 
che: «Un gruppo transitivo d’ordine e grado eguali, non è mai (') 
primitivo ». 
Sia dunque (9) un gruppo qualsivoglia contenuto nel gruppo fondamentale (T). 
Le sostituzioni del gruppo (T,) potenziale di (T), eguivalgono a scambî fra i periodi 
nei quali il gruppo (9) spartisce gli elementi del gruppo (T,), antipotenziale di (T). 
Il sistema degli scambî che corrispondono alle singole sostituzioni di (T,), costituirà 
un gruppo (K) transitivo ed*isomorfo al gruppo (T,), e conseguentemente al gruppo (T). 
Cerchiamo ora di stabilire il numero delle sostituzioni di (T) o di (T,), corrispon- 
denti a ciascuna delle sostituzioni di (K), premettendo che: 1° « Se un gruppo (T) 
non è primitivo, è lecito formare un gruppo (I°) isomorfo a (1) (*), le sostituzioni 
del quale permutino fra loro i sistemi (A) nell’istesso modo che le sostituzioni di (1) ». 
2° «Il numero delle sostituzioni di (1°) corrispondenti a una medesima sostituzione di 
(TP), eguaglia l’ordine 9 di quel gruppo (A) contenuto in (1°), che è formato da tutte le 
sostituzioni di (T), le quali permutano gli elementi di ognuno dei sistemi (A) con 
elementi del sistema stesso ». 
La prima parte del lemma è evidente. La seconda può esser dimostrata da un 
ragionamento analogo al dianzi fatto per istabilire l’ordine del gruppo in isomor- 
fismo meriedrico con (T), ottenuto mediante un gruppo (7) soggetto a una nota con- 
dizione. Ma non tralasceremo di notare che: « le sostituzioni del gruppo (I°) sono 
evidentemente permutabili a quelle del gruppo (A) ». 
Tornando ora al gruppo (9) contenuto in (T) e all’isomorfismo che ne consegue 
in grazia della relazione fra il gruppo (T,) e i periodi di (T,) costituenti il siste- 
ma X', è evidente che il numero delle sostituzioni di (T,) corrispondenti ad una me- 
desima sostituzione del gruppo ad esso isomorfo, eguaglierà l'ordine di un gruppo (A,) 
contenuto in (T,), e tale che: 1° Ciascuno de’ suoi periodi appartenga ad un periodo 
di (9a). 2° Alle sue sostituzioni siano permutabili quelle di (T,). In grazia della seconda 
proprietà, i periodi di (A,) coincideranno con quelli di (A,). Segue, che ciascuno dei 
periodi di (A,) apparterrà a qualche periodo di (ga), il gruppo (A,) al gruppo (ga), il 
(') Evidentemente si suppone che l'ordine del gruppo non sia primo, chè altrimenti il gruppo 
sarebbe evidentemente primitivo. Ma poichè esso non conterrebbe gruppi minori, riuscirebbe impos- 
sibile la distribuzione in periodi degli elementi del gruppo congiunto. 
(è) Capelli, 1. c. par. I (11). 
