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gruppo (A,) al gruppo (9), il gruppo (A) al gruppo (9). Il numero @ che ricerchiamo, 
è dunque l’ordine di un gruppo di (9) alle sostituzioni del quale, son permutabili 
quelle di (T). E possiamo soggiungere che: il numero g è l'ordine del più 
generale (H) tra siffatti gruppi ('). Infatti, ciascuno dei periodi antipotenziali 
di (H) si ritroverà in qualche periodo di (9) perchè (H) è contenuto in (9). Lo stesso 
avverrà dei periodi potenziali di (H) perchè le sostituzioni del gruppo fondamentale 
sono permutabili a quelle di (H). 
Il gruppo (H,) sarà adunque contenuto nel gruppo (A,), e ciò trae seco la coin- 
cidenza dei gruppi (H,) e (A)), ossia dei gruppi (H) e (A). 
Da ciò che precede apparisce chiaramente come l’esempio il più semplice e il 
più spontaneo, quello cioè che si trova citato al par. I (11) del lavoro del Capelli, 
ne offra altresì il tipo generale dell’isomorfismo (*). | 
Cor. Supponiamo che i due sistemi ® e X' di periodi del gruppo potenziale e 
del gruppo antipotenziale coincidano, ma facciamo astrazione dalla esistenza d’un 
gruppo unico contenuto in (T) che li determini. Le sostituzioni del gruppo poten- 
ziale equivarranno a scambî fra i periodi del sistema 2", e conseguentemente fra 
quelli del sistema x. Alle sostituzioni del gruppo (9) contenuto nel gruppo. poten- 
ziale e subordinante tutti a ciascuno gli elementi dei singoli periodi di x, saranno 
permutabili le sostituzioni del gruppo potenziale anzidetto, ei periodi potenziali di (9) 
coincideranno con i periodi antipotenziali del gruppo istesso. I periodi di >’ saranno 
adunque relativi a quell’istesso gruppo (9) al quale si debbono i periodi di X. 
Poichè fu dimostrato che le sostituzioni d’un gruppo transitivo d’ordine e grado 
eguali equivalgono a scambî fra i periodi d’un medesimo sistema del gruppo con- 
giunto, ossia che i periodi di questo sono, relativamente all’altro altrettanti sistemi (A), 
sorge spontanea la questione: « Gli elementi di un gruppo transitivo d’ordine e grado 
eguali, (ad es. e con egual generalità, gli elementi del gruppo potenziale d’un gruppo 
dato), si possono distribuire in sistemi (A) che non siano formati con periodi d'un 
istesso sistema del gruppo congiunto? « Dimostreremo che ciò è impossibile, ossia il: 
Teorema. I sistemi nei quali si distribuiscono gli elementi d’un 
gruppo transitivo dell’istesso ordine e grado a cagione della non 
primitività di esso, rappresentano necessariamente i periodi d'un 
istesso sistema, del gruppo congiunto. 
Dim. Supponiamo che gli elementi del gruppo potenziale di un gruppo qualsi- 
voglia, si possano distribuire negli m sistemi rappresentati nel quadro: 
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e che le sostituzioni del gruppo equivalgano a semplici scambî fra le orizzontali del 
quadro. Consideriamo tutte le sostituzioni del gruppo le quali permutano fra loro 
gli elementi di una certa orizzontale, ad es. della prima. Esse formano evidentemente 
(') Capelli, 1. c. par. III (3). 
(@) Veggasi la nota alla fine di questo lavoro. 
