— 108 — 
Se partendo da un gruppo qualsivoglia, per unaserie (in gene- 
rale variabile) di gruppi, tali, checiascuno di essi e sia contenuto 
nel precedente, e sia tra i più generali che soddisfano a questa 
condizione, si finisca al gruppo 1, i quozienti ottenuti dividendo 
l’ordine di ciascuno dei gruppi che via via s’incontrano per l’ or- 
dine del gruppo che segue, offriranno una serie costante e nel va- 
lore e nel numero dei termini, 
E poichè al teorema si perviene con una trasformazione di quello dei fattori di 
non primitività che Jordan dimostra nel Lib. II par. 51 della sua opera, non sarà 
inopportuno ricordare in che cosa consista quest’ultimo ed importante teorema. 
«È dato il gruppo E d’ordine 1. Gli elementi del gruppo si spartiscono in si- 
stemi (A) rappresentati ordinatamente da: 
II 
(8) x (io P,, 7 ecc.) n (6, È CATE ecc.) ERRE (xa, Wi ecc.) 
per modo, che: 1° Il primo sistema formato con un unico cumulo di elementi, con- 
tenga tutti quelli del dato gruppo di sostituzioni. 2° Uno dei cumuli della serie: 
Bu ,F/,... X',, sia contenuto nel precedente, e non esista alcun altro cumulo rela- 
tivo a possibili spartizioni in sistemi (A), il quale e contenga quel cumulo e sia 
contenuto nel cumulo precedente. 3° I cumuli dell’ultimo sistema siano tutti com- 
posti d’una sola lettera. Ciò posto, se i cumuli dei successivi sistemi contengono 
risp. fi, p/, 12", .... fa(?), 1 lettere, i quozienti: 
h R pi) 
r9 To ie 9 
(fattori di non primitività), formeranno una serie costante, e nel valore e nel numero dei 
termini. « Ciò premesso veniamo alla accennata trasformazione. Sia T,, un gruppo dato 
d’ordine y, ed inoltre: T,,T/,T,/,....T}, una serie di gruppi di ordini rispettivi: 
v,v,v",... 1. Ogni gruppo sia poi contenuto nel precedente, e dei più generali che 
adempiano a questa condizione. I sistemi di periodi nei quali i gruppi sopra detti 
spartiscono gli elementi del gruppo antipotenziale di T,, soddisfano appunto alle con- 
dizioni che furono testè imposte ai sistemi: 
(E.), (P, Too ecc.) pt (x xi ecc.). 
Quei sistemi di periodi, sono infatti sistemi (A) del gruppo potenziale di T.,. 
Ciascuno dei periodi di T,( è poi contenuto in qualche periodo di T,(#7!) e non 
esiste alcun cumulo Y relativo a possibili sistemi (A) il quale e contenga periodi di 
T,() e sia contenuto in taluno dei periodi di T,(7/. Infatti un cumulo Y il quale 
contenesse periodi di T,(“) e fosse contenuto in un periodo di T.(“71), sarebbe 
necessariamente periodo antipotenziale d’un gruppo contenente T,(?) e contenuto in 
T,(--1) Il gruppo T,(#) conterrebbhe adunque un gruppo più generale di T,(), 
sia permutabile alle sostituzioni di questo, e sia fra i più generali che soddisfano a siffatte condi- 
zioni, si finisca al gruppo 1, i quozienti ottenuti dividendo l'ordine di ciascuno dei gruppi che via 
via s'incontrano per l'ordine del gruppo che segue, offriranno una serie costante e nel valore e nel 
numero dei termini ». (Jordan, Liv. IL. 54-59), (Capelii, 1. c. par. VIII). 
