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considerino tutte le possibili somme di prodotti ad n ad n (n variabile e divisore di 1) 
degli elementi sopra detti, ossia tutte le possibili funzioni dal tipo: 
ONION) 
(4) lino L'ant+%1 La Cn 
A ciascuna funzione la quale ammetta le sostituzioni del gruppo antipotenziale, 
corrisponderà un gruppo contenuto nel gruppo fondamentale e di ordine eguale al 
grado di omogeneità del quale essa è dotata. Infatti i sistemi delle lettere le quali 
appariscono come fattori nei singoli termini della funzione, sarebbero, nella ipotesi am- 
messa, periodi del gruppo potenziale. A questi corrisponderebbe un gruppo e un gruppo 
solo d’ordine n contenuto nel gruppo potenziale, e conseguentemente un gruppo e un 
gruppo solo d’ordine n appartenente al gruppo fondamentale. È poi evidente che a 
funzioni distinte corrispondono gruppi distinti del gruppo fondamentale. Viceversa, se il 
gruppo dato contenga un gruppo d’ordine n, i periodi del gruppo potenziale che a quel 
gruppo corrispondono, determineranno una funzione del tipo (Y), la quale ammetterà 
le sostituzioni del gruppo antipotenziale. 
E così: Le funzioni Y le quali non sono alterate dalle sostitu- 
zioni di un gruppo transitivo d’ordine e grado uguali, sono le im- 
magini dei varî gruppi d’ordine n contenuti nel gruppo transitivo, 
ed avviene, che ad ogni gruppo corrisponda un’immagine, ad ogni 
immagine un gruppo, a gruppi diversi immagini diverse, e vice- 
versa. 
Se poi si considerino le funzioni Y in relazione al gruppo che scaturisce dalla 
combinazione d’un gruppo trasitivo d’ordine e grado uguali, e del congiunto, si ot- 
terrà il teorema: 
Le funzioni Y le quali non vengono alterate dalle sostituzioni 
del gruppo, derivato dalla combinazione di un gruppo transitivo 
d’ordine e grado uguali, e del congiunto, sono le immagini dei 
varî gruppi d’ordine n contenuti nel gruppo transitivo, e permu- 
tabili alle sue sostituzioni. Esiste anche qui corrispondenza uni- 
voca tra i gruppi e le funzioni. 
Il prof. Capelli nella sua Memoria, giunge col sussidio di funzioni Y' a sta- 
bilire alcuni nuovi ed importanti teoremi fra i quali segnaliamo il teorema del 
par. IV, che comprende come caso particolare un noto teorema di Cauchy, il teorema 
del par. V, non che alcuni teoremi relativi ai gruppi gli ordini de’ quali sono po- 
tenze di numeri primi. Se non che, approfittando del principio (precedentemente sta- 
bilito forse per la prima volta) di corrispondenza univoca fra i gruppi che sono con- 
tenuti in un gruppo transitivo d’ordine e grado uguali, permutabili alle sostituzioni 
di questo o qualisivogliano, e le funzioni Y invariabili per le sostituzioni del gruppo 
derivato dal gruppo transitivo e dal congiunto, o semplicemente per quelle del gruppo 
transitivo, le dimostrazioni del Capelli potrebbero essere notevolmente semplificate. Ma 
poichè ci proponiamo di dedicare un altro lavoro ad alcune applicazioni dei teoremi 
che in questo si contengono, e alcune dimostrazioni del Capelli compariranno quivi 
modificate nel senso anzidetto, così porremo fine al corso delle nostre considerazioni 
