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colla dimostrazione di un nuovo teorema relativo ai gruppi d’ordine p* (p numero 
primo). Questo teorema comprende come corollario quello del par. VI 5 del lavoro 
del Capelli, e si può enunciare come segue: 
Qualsivoglia gruppo d’ordine p”, contiene in se un gruppo d'or- 
dine p', (ea) il quale è permutabile alle sue sostituzioni. 
Dim. Si consideri una funzione Y di grado p' (£=za) formata con gli elementi 
dei due gruppi fra loro congiunti, isomorfi ad un gruppo dato. Il numero dei valori 
della funzione, algebricamente distinti, sarà: 
7 (1.2.3..pA?9* (1.2.3..p3*) 
e perciò, come è facile vedere, non divisibile per p. L'ordine del gruppo (D) deri- 
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vato dai due gruppi fra loro congiunti, sarà poi: ni (sza). Le sostituzioni del 
gruppo (D), permuteranno fra loro i v valori della funzione Y, e questi, si distri- 
buiranno nei sistemi: 
Wa Pl), Pa Van e Ve gg) 
per modo, che ogni sostituzione di (D), equivarrà a scambî tra i valori di ciascuno 
dei sistemi. I numeri: î1, é,...è, soddisferanno inoltre alla condizione: 
tia tig t... +=». 
E poichè v è primo con p, uno almeno dei numeri è non sarà divisibile per p. 
Sia ad es. é, non divisibile per p. 
Poichè le sostitutioni di (D) equivalgono a scambî tra i valori: 
Di d'a. pal), 
il sistema di tali scambî offrirà un gruppo (D') transitivo ed isomorfo al gruppo (D). 
. L'ordine di (D') dividerà adunque quello di (D), e sarà perciò della forma: p'. D’al- 
tronde, l'ordine di (D'), che è transitivo, dev’esser divisibile pel numero delle lettere ossia 
per é. Ma è, è primo con p. Sarà per ciò: é,==1, ossia: tra i y valori di una me- 
desima Y di grado p*, ve n’ha uno almeno il quale ammette tutte le sostituzioni 
di (D). A questo corrisponderà pertanto un gruppo d’ordine p* contenuto in uno dei 
due gruppi isomorfi al fondamentale e permutabile alle sostituzioni del gruppo che 
lo contiene, e per conseguenza un gruppo d’ordine p* contenuto nel gruppo fonda- 
mentale, e permutabile alle sostituzioni di questo. 
NOTA 
In questa nota ci proponiamo di dimostrare, come la costruzione di qualsivoglia 
gruppo transitivo fra gli elementi a, , da, .... ag il quale sia in isomorfismo con un gruppo 
dato, (ovvero, e con egual generalità in isomorfismo col gruppo potenziale del dato), 
coincida sempre con taluna delle costruzioni accennate nel corso del precedente lavoro, 
le quali, come si disse, procedono dal fatto degli scambî che fra i periodi di un’ istesso 
sistema del gruppo antipotenziale, operano le varie sostituzioni del gruppo potenziale. 
Sia (I°) un gruppo transitivo, ed isomorfo al gruppo potenziale (T,) del gruppo 
fondamentale (T). Si immagini che le sostituzioni di (I°) vengano distribuite in va- 
rie orizzontali, che nella 1° orizzontale sì pongano quelle sostituzioni le quali non 
