dBA TO 
i 
ispostano un’ elemento scelto ad arbitrio ad es. 1° elemento aj, nella 2,° 8*.... ultima 
orizzontale le sostituzioni subordinanti all’elemento a, gli elementi: @a, .... @, 
Se la 1°, 2°,..... ultima orizzontale vengano rispettivamente designate col nome del- 
l’ elemento che le loro sostituzioni subordinano ad a,, avverrà, che moltiplicando a 
destra le sostituzioni del gruppo (T) per una sostituzione qualsivoglia del gruppò 
istesso, le orizzontali del nostro schema si permuteranno fra loro, e daranno nascita 
ad una certa sostituzione la quale sarà poi significata dalla sostituzione moltiplica- 
trice gli elementi della quale siano divenuti nomi di orizzontali. Si immagini ora 
lo schema corrispondente per isomorfismo al precedente, si supponga adunque che la 
1°, 2°,.... ultima orizzontale del nuovo, contengano rispettivamente le sostituzioni del 
gruppo potenziale le quali corrispondono alle singole sostituzioni della 1,% 2,*.... ul- 
tima orizzontale del primo schema. Le sostituzioni della 1% orizzontale del 2° schema 
formeranno evidentemente un gruppo. Inoltre, poichè moltiplicando una sostituzione 
qualsivoglia S', del primo schema, per l’inversa di altra sostituzione appartenente 
alla orizzontale di S' si ottiene una sostituzione della 1° orizzontale del 1° schema, 
facilmente si scorge, stante l’isomorfismo, come, dalla moltiplicazione di una sosti- 
tuzione qualsivoglia del 2° schema per l’ inversa di una sostituzione appartenente 
alla orizzontale di quella, debbasi ottenere costantemente una sostituzione della 1° 
orizzontale del 2° schema. Se adunque le sostituzioni delle varie orizzontali di questo, 
vengono surrogate dai loro indici o numeri d'ordine, (1), le orizzontali si muteranno (II) 
nei periodi antipotenziali relativi al gruppo delle sostituzioni della 1% orizzontale. 
Ciò premesso, si moltiplichino a destra le sostituzioni del 2° schema per una 
sostituzione T, di (T,). Le orizzontali del 2° schema si permuteranno fra loro ap- 
punto come le orizzontali del 1° si permuterebbero a cagione della moltiplicazione 
a destra per la sostituzione S appartenente a (1) e corrispondente a T;. Ma quest'ul- 
time si permuterebbero fra loro nel modo definito dall’ istessa S gli elementi della 
quale significassero nomi di orizzontali. Adunque la sostituzione S può ancora rap- 
presentare il modo di permutarsi fra loro delle orizzontali del 2° schema a cagione 
della moltiplicazione delle loro sostituzioni per una delle sostituzioni corrispondenti ad S. 
Ma si rifletta che la moltiplicazione per T, a destra, applicata a tutte le sosti- 
tuzioni del 2° schema, e per conseguenza a tutte le sostituzioni del gruppo poten- 
ziale del fondamentale, surroga l’indice di ogni sostituzione dello schema, per l’in- 
dice ad esso subordinato nella sostituzione moltiplicatrice, (I). Adunque la moltipli- 
cazione per T, a destra, permuterà le orizzontali del 2° schema, precisamente come 
la T, permuta fra loro i sistemi d’ indici corrispondenti alle varie orizzontali, vale 
a dire è periodi di un medesimo sistema del gruppo antipotenziale. 
E poichè la moltiplicazione istessa permuta le orizzontali del 2° schema nel 
modo designato dalla sostituzione S, segue che la sostituzione S è atta a rappre- 
sentare quella sostituzione tra i periodi antipotenziali (corrispondenti alle orizzontali 
del 2° schema), alla quale dà nascita la T, del gruppo potenziale. 
Il gruppo (T) può adunque divenire identico ad un gruppo di sostituzioni fra 
periodi di un medesimo sistema del gruppo antipotenziale, siffatto gruppo èssendo de- 
terminato dalle sostituzioni del gruppo potenziale. 
