Sulla rappresentabilità di una funzione a due variabili 
per serie doppia trigonometrica. 
Memoria del prof. G. ASCOLI 
approvata per la stampa negli Atti dell’Accademia 
nella seduta del 1 giugno 1879. 
INTRODUZIONE 
Questa Memoria contiene una ricerca generale sulla. esprimibilità di una funzione 
qualsivoglia a due variabili per serie doppia trigonometrica. Il metodo in essa se- 
guito è analogo a quello tenuto da Riemann nella classica Memoria Sulla rappre- 
sentabilità di una funzione per serie trigonometrica. 
Credo queste ricerche di qualche momento, non tanto in se stesse, quanto per 
le applicazioni che se ne possono fare a casi particolari, le quali devono, se non erro, 
chiarire di molto la teorica delle funzioni a due variabili. 
Aggiungo un esempio, il quale, comunque di qualche interesse, non illustra 
la teoria accennata come avrei desiderato. Era mia intenzione di trattare un 
esempio più generale ed analogo a quello che ho esposto nelle mie Nuove ricerche 
sulla Serie di Fourier, ma non mì venne fatto di porre ad effetto sino ad ora il mio 
pensiero, riuscendomi impossibile, ad onta di lunghi ed accurati studî, il superare 
tutte le difficoltà che trovai mentre tentava di attuarlo. A chi pensi quanto sia poco 
nota l’intima essenza delle funzioni a due variabili, quanta incertezza regni ancora 
in alcuni concetti fondamentali della scienza (a mo’ d’esempio, in quello di curva, 
in quello di funzione a più variabili scevrà da infiniti massimi e minimi, in quello 
di integrale relativo a funzioni di più variabili) non parrà strano quanto ho asserito. 
Anzi, non solo havvi dell’incertezza circa ai punti indicati, ma parmi che corrano in 
proposito anche delle idee erronee. Non dispero però di poter esporre un giorno, dopo 
più maturo studio, l'esempio vagheggiato. 
Queste considerazioni mi hanno tenuto alquanto merino se dovessi dare alla 
luce o meno la presente Memoria; ma, ponendo mente che Riemann non illustrò le 
sue ricerche con un esempio generale, mentre esse indussero altri a fare degli studî 
che trasformarono la teoria delle funzioni ad una variabile, non ho creduto inoppor- 
tuno il pubblicarla, non disperando di essere coadiuvato anche da altri nel farne 
delle applicazioni. 
Ancora una osservazione. Penso che si illuderebbe molto colui, che, avendo 
studiato accuratamente la teorica delle funzioni ad una variabile, si immaginasse di 
