— 254 — 
disporre di elementi, i quali, generalizzati senza gravi difficoltà, potessero fornire la 
teoria delle funzioni di più variabili, sia pure soltanto di due. Questo concetto pare 
abbia dominato nello sviluppo della scienza attuale, ed uno sguardo rapido al solo 
Calcolo differenziale mi sembra ponga fuori di dubbio questa asserzione. Conoscere 
l’intima natura delle funzioni ad una variabile è cosa indispensabile allo studio di 
quelle a due variabili, ma la teoria di queste ultime riposa sovra concetti ben più 
complessi, che, a mio credere, non sì possono sempre riguardare come la generalizza- 
zione dei corrispondenti delle funzioni ad un variabile, quando pure questi esistano. Valga 
ad esempio il concetto di curva piana e quello di un numero limitato di punti allineati. 
Ripeto, il desiderio di porre un fondamento ad una serie di studî, la quale valga a 
chiarire la teorica delle funzioni a due variabili mi indusse a fare queste ricerche. Altri 
giudicherà, se io abbia attribuito soverchia importanza all’argomento di questa Memoria. 
I. 
1. Dico che una funzione f (2, y) è esprimibile per serie trigonometrica, quando 
si possa assegnare un’aggregato della forma 
— 0 0 A 
/ © senur+ al”) cos ur )senvy + (aC)senur+ al” cos ua ) cosvy {= 
di 3:20 | (a0 pesa, uao ) Y (a£ ud GT ua) VY 
‘© X» Xu BM — BO + BM BO)L.... 
CRRIORN A 0 0 
il quale converga solo per quelle coppie di valori di 2 e di y, perle quali il sim- 
bolo / (x,y) ha significato. 
n_ m 
La serie precedente converge, se la somma S@® = x, SW BI tende ognora ad 
7 0 0 
uno stesso limite in qualunque modo si mandino all’infinito sempre crescendo 
i numeri m ed n. 
Circa alla funzione / (x,y) non si fa veruna ipotesi, tolta quella della doppia 
periodicità secondo 27. 
Si cercheranno in prima delle condizioni necessarie per la esprimibilità e da 
queste si dedurranno delle sufficienti. 
Poniamo quindi data la serie Sv Sv B®; indicheremo questo simbolo con Q, 
o 0 E 
ed il suo valore nel punto (x,y), quando in esso possa assegnarsi, con /(,%); 
laonde la funzione f(,y) esiste soltanto in quei punti del piano, pei quali l’aggre- 
gato a rappresenta una grandezza. 
2. Dalla definizione di convergenza data or ora si ponno cavare alcune conse- 
guenze che importa conoscere. 
