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Dato ad m un valore fisso, del resto arbitrario, la espressione S® tende nelle ipo- 
tesi fatte ad un limite S, all’annullarsi di "0 ogni serie orizzontale è quindi con- 
vergente. Nello stesso modo si dimostra che ogni serie verticale ha significato. As- 
segnata una quantità arbitraria 7(> 0) si potranno determinare due numeri my ed n} 
: . (natr) 
tali, che la differenza S—S°* 
mati 
maggiore di n, S essendo la somma della serie considerata. Con m, ed my indico i 
minimi numeri che soddisfanno alla condizione indicata. Di conseguenza, la somma 
(t>0,r=0) non sia, fatta astrazione dal segno, 
(an) g(titr) 
maytla mytt 
(tt=>t, mr) 
è in valore assoluto di quella piccolezza che si vuole. 
Supponendo prima t1="t, rx >r e poi tr>!, rrx=r, si avverte che ognuno 
dei due aggregati 
Tana) (ny+rt2) i piera) (0) (nytr) 
0 ar 0 SP 00 ‘Asi 0 miti oo covo i my tt+1 
posso) (nytrt2) (naery) (0) (nytr) 
1 + 1 +... + Dj EEA 00000 a 
(nyrrt1) p(nytr+2) (nytr4) : (0) (nytr) 
mite mire o 00 e miti DARA Si o AO st mata 
è arbitrariamente piccolo, e quindi anche l’altro 
ferri (ny+rt2) BI mitra) 
my+lr1 aa mita o 000, ue myttt1 
pat (ny+r42) (mitra) 
nm ah I Sia do 
D'altra parte, le prime my serie orizzontali e le prime n, verticali essendo con- 
vergenti, sì scorge tosto che si ponno assegnare due numeri my ed ny tali, che una 
porzione rettangolare qualsivoglia della serie proposta sia di quella piccolezza che si 
vuole, quando l’ indice del lato sinistro è maggiore di n,, oppure quello del lato 
superiore è più grande di my, o amendue queste condizioni sono soddisfatte. Il ret- 
tangolo in discorso potrebbe avere una o amendue le dimensioni illimitate o nulle, 
e nell'ultimo caso esso si ridurrebbe ad un termine. 
L'ultima osservazione equivale al dire: Il termine B$ si annulla uniformemente 
; 1 3 
nel punto (x,y) considerato, ossia con ——. Ora, è manifesto che, se le quan- 
(UU 
; tendono uniformemente allo zero, altrettanto ha luogo della 
tità alÈ, 
v 9 Lio 09 . N . . . . 
grandezza B ) quale si sia il punto considerato, È degno di nota poi che, se il termine 

Ba si annulla con in particolare per ogni punto di un’area 
(3%) 
A, i coefficienti a+, convergono uniformemente allo zero. 
