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III. 
1. Giovandoci dei teoremi precedenti possiamo asserire quanto segue circa alla 
rappresentabilità di una funzione di due variabili doppiamente periodica secondo 
2r per serie trigonometrica, il cui termine generale si annulla uniformemente, quale 
si sia il punto considerato. 
I. Affinchè una funzione f(x, y) doppiamente periodica secondo 27 sia esprimi- 
bile per serie doppia trigonometrica, il cui termine generale si annulla uniforme- 
mente, quale si sia il punto considerato, deve esistere una funzione ovunque continua 
F (x,y) e tale, che sia limo (@)=f(,y) in particolare per ogni punto in cui il sim- 
v=0 
holo /(2,y) ha significato. La funzione F (x, y) dee potersi trasformare in una funzione 
doppiamente periodica secondo 27 mediante sottrazione di una quantità della forma 
nn 
e ciascuna delle due serie 

(0) 4 I VE (0) EI 
po o e 0g: 
(1) (0) 
ufo pi 
dee convergere per ogni coppia particolare di valori di x e di y, mentre si ha 
=» 27 DT 
[E-Yar= f@—a) dy=0. 
“o LS 0 
II. L’ integrale 
ua yè | di) fe A (2)p(y) cosp(e—a) cos v (y—d) da 
6 b 
1 
dee annullarsi con Di a e d essendo due costanti. arbitrarie e X(x) e p(y) due 
funzioni, che soddisfanno alle condizioni indicate al teorema terzo del N° che precede. 
2. Reciprocamente, se sono soddisfatte queste condizioni esiste una serie tri- 
gonometrica i cui coefficienti si annullano uniformemente, quale si sia il punto con- 
siderato, e che rappresenta la f(x,y) in ciascun punto in cui converge ed in cui il 
simbolo f(x,y) ha significato. 
Infatti, posto 
(0) : 
0(0, 9) = n Di pe x Bj a D 2 FO 
facciamo : Ì 
Bi = (20° sen 4 + al) cos ur) senyy -( al sen pa + a? cos ur) COSV 
i: 
\ 
27 27 
PISA Bo 
7 F(u,v) —0(u, ») jeos u(u—x)cosy(v—y)dudv. 
0 0 

