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si annulla con mo oppure, ciò che è lo stesso, la quantità 
27 n 2n+1 
mn do Dee 1 (u—x) di sen 9 (—y ) 
a Do) B, tura (F_ 9) = mal IE nie SO STI 
4r ta sen È n= (u—x) d senz (v—y) 
I We) = ip ©) du dv. 


è 
Il convergere della serie XX II, di cui il termine generale si annulla uni- 
P=1y=1 
formemente, qualunque sia il punto considerato, per una coppia particolare di valori 
di x e di y dipende dal modo di comportarsi della funzione F (x,y) —0 (@, y) in 
ciascuno di due rettangoli d’area arbitrariamente piccola paralleli agli assi e che si 
tagliano internamente in esso punto. Ognuno di questi due parallelogrammi ha una 
dimensione eguale a 27. 
Se il punto contemplato fosse sovra uno degli assi, a mo’ d’esempio su quello 
delle ascisse, basterebbe sostituire all’ intervallo 0 27 relativo alla variabile v l’altro 
—n+7, ed alla funzione 0(v) una nuova funzione nel segmento —n+n, n cd 
essendo due grandezze arbitrariamente piccole, la quale gode di proprietà analoghe 
a quelle della prima. La ricerca precedente poi reggerebbe ancora se il punto con- 
siderato cadesse nella origine, oppure soltanto sull’ asse delle ordinate. 
IV. 
1. Illustriamo le ricerche precedenti con un esempio. 
Se f(a,y) è una funzione doppiamente periodica secondo 27 e continua, è facile 
dimostrare che esiste una serie della forma «il cui termine generale si annulla unifor- 
memente, quale si sia il punto considerato, € che rappresenta la f(x,y) ove converge. 
Infatti, l'integrale 
ren=f ff ff@marar 
Si O 
è una funzione ovunque continua dotata delle derivate 
SF SF 5%F d2F SE 0d8F S3 F di F 
da? dy da NE * Indy” da*dy” ded” dtd? 
pure ovunque continue. Questa funzione può rendersi doppiamente periodica secondo 
27 sottraendo dalla medesima una espressione della forma 
ENI ITT 
yety a IRSA o) 1 
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4 Dici t 
