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Sopra una classe di equazioni a derivate parziali di second’ ordine 
con un numero qualunque di variabili. 
Memoria del Socio ULISSE DINI 
presentata nella seduta del 14 aprile 1901. 
Eulero prima e poi Laplace presero a studiare le equazioni del second’ ordine a 
E De de ara , a : 
> + ad o +6 > + ee=0, indicando alcuni casi nei quali la 

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due variabili 
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loro integrazione si può effettuare con sole quadrature. 
Moutard e Darboux poi nell’ ultimo trentennio ripresero questi studî nell’indirizzo 
aperto da Laplace; e specialmente il Darboux li svolse ampiamente formandone varî 
capitoli della deuzième partie della sua théorie générale des surfaces. 
Legendre però dopo i lavori di Eulero e di Laplace aveva mostrato come i me- 
todi di questi geometri possono applicarsi anche ad equazioni della forma 



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ev ia dA dY mmie VE magi dI H+ 2e dY 3 GE O, ma senza trattarli diffusa- 
mente e senza coordinarli con altri studî; e così l'estensione data da Legendre ai 
metodi di Eulero e Laplace è appena ricordata e esposta in poche pagine in pochi 
trattati senza punto soffermarvisi. E sebbene la possibilità di ridurre sempre con 
trasformazioni reali o complesse le equazioni a derivate parziali di second’ ordine di 
Legendre alla forma di Laplace potesse fare presentire che i metodi relativi a queste 
ultime equazioni, salvo le difficoltà derivanti dai processi di trasformazione, dovessero 
applicarsi anche a quelle di Legendre, e dovessero condurre a risultati semplici anche 
per queste, pure nè il Darboux nè altri presero a spingere più oltre gli studî di 
Legendre, trattando estesamente anche le equazioni di Legendre come con tanto acume 
hanno trattato quelle di Eulero e Laplace. 
Ma oltre che alle classi di equazioni considerate da Legendre, i risultati di 
Laplace e Darboux si estendono quasi tutti a certe classi generali di equazioni lineari a 
derivate parziali del second’ordine, con un numero qualunque di variabili indipendenti, 
con un metodo che non dipende affatto dalle trasformazioni che possono servire a pas- 
sare da queste classi di equazioni ad altre, ma che è invece un metodo generale diretto 
e uniforme col quale in conseguenza non viene fatta distinzione nè fra le equazioni 
di Legendre e quelle di Laplace, nè fra queste e quelle relative a un numero qua- 
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