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e non rimarrà d'indeterminato che il X,; e le A,,,, con 1=#=?, 2=/=n—2, 
per quanto si disse nel $ 3 dovranno essere diverse da zero. 
Un risultato simile si avrà se invece di partire da a,="0 si partirà da X1="0; 
e il nuovo sistema di valori delle X e 4 che si troverà sarà evidentemente quello 
che risulterà dal sistema precedente mutando tutte le 4, nelle %, corrispondenti e 
le %, nelle a,. 
Posti poi questi sistemi delle a e X nelle rimanenti equazioni (4) non anche 
considerate, si avranno subito le altre condizioni che devono sussistere fra i coeffi- 
cienti dei termini di second'ordine della (1) perchè le nostre trasformazioni possano 
farsi; e queste terranno luogo delle condizioni (9) che si avevano nel caso in cui A), 
era diverso da zero. Esse poi evidentemente saranno le stesse tanto pel primo sistema 
di valori delle &, e /, che pel sistema che viene dal mutare tutte le «, nelle %, 
corrispondenti e viceversa, a causa della perfetta simmetria che presentano le equa- 
zioni (4) fra le £, e a. 
6. Premessi questi risultati, facciamo rilevare altre particolarità notevoli delle 
classi di equazioni (1) alle quali vogliamo che possano applicarsi le nostre trasfor- 
mazioni. 
La prima di queste particolarità è relativa al caso in cui n > 2 e i coefficienti 
A,.s delle derivate del second’ ordine nella equazione data (1) sono tutti reali, ed è 
quella che per tutte le coppie di variabili (4,,;) per le quali la equazione non è 
del tipo parabolico essa deve essere necessariamente dello stesso tipo, cioè sempre 
del tipo ellittico, o sempre del tipo iperbolico. 
Osserviamo perciò prima di tutto che se la equazione data (1) non ha altro che 
derivate miste, per le coppie di variabili (4, s) per le quali nella equazione stessa 
d°4 
dI dI 
siderarsi come parabolico; mentre per quelle per le quali questa derivata vi sarà, 
l'equazione sarà sempre evidentemente del tipo iperbolico. 

mancherà la derivata mista corrispondente il tipo dovrà evidentemente con- 
È : i, dB De iz 
Se poi l'equazione (1) avrà alcune delle derivate —>, —3,... —3, 
P d (1) DI MOTIIOST 
ad es. per semplicità (come può sempre farsi) che una di queste sia la 
(a_-1)(_2) 
2 
supposto 
2» 
IS) 

DIÎ 
dovremo avere le equazioni che si hanno dalla (9) per le varie 
combinazioni degli indici 7 e s; e poichè in queste equazioni il primo membro è 
reale si vede intanto che prese ad es. le due coppie di variabili (21, %,), (21,23) 
la equazione per ambedue queste coppie dovrà essere dello stesso tipo, o per una 
dovrà essere del tipo parabolico; e così evidentemente per tutte le coppie di varia- 
bili (21, 4) con #=2,3,... che contengono la stessa variabile #1, e per le quali 
la equazione non risulterà del tipo parabolico, essa dovrà essere dello stesso tipo 
(ellittico o iperbolico). 
Ne segue che posto 
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