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Pr ® ps quando non saranno zero saranno dello stesso segno; e siccome la (9) ci dà 
AT AZ = AZ A, + (A — An App) (AG — An As) — 28,8 Any Aus VprVPp: 4 
avremo anche 
ENTO ZSARRNAGIANA) Iaila= 
= 2A, Aîs né ì Aîs (Aî, a Pr) 5P Ai, (Aî; — ps) — 2er8 Air A;s Vp.Vp: ; 
ovvero infine 
AZ (AL Ap Ag)= (Asi = Ar VP, 
e poichè se p, e ps non sono zero esse hanno lo stesso segno, di qui risulta subito 
che anche Aè, — A,_ Ass avrà lo stesso segno di queste o sarà zero, e con ciò il 
nostro asserto resta evidentemente dimostrato completamente. 
È notevole poi, e questo vale anche pel caso che la equazione (1) abbia i coeffi- 
cienti complessi, che se p, e ps saranno ambedue zero, lo stesso per la formola pre- 
cedente accadrà anche di AZ, — A,r Ass; e di qui risulta che quando A,, non è zero 
se per le due coppie (41, %,) € (#1, s) la equazione sarà del tipo parabolico essa 
lo sarà anche rispetto alla coppia («,,s), e in particolare quindi se con A, diverso 
da zero la equazione data (1) sarà del tipo parabolico rispetto alle varie coppie 
(1, ,) che contengono la stessa variabile #,, essa sarà del tipo parabolico rispetto 
a ogni altra coppia di variabili. 
Diremo d'ora innanzi per abbreviare che una equazione (1) è del #zpo parabo- 
lico quando è di questo tipo rispetto a ogni coppia di variabili (2,,s), è di #po 
ellittico quando è di questo tipo rispetto a ogni coppia di variabili per la quale non 
è del tipo parabolico, e è di ipo iperbolico quando è di questo tipo rispetto a ogni 
coppia di variabili per la quale non è del tipo parabolico, ed è di tipo ms/o negli 
altri casi; e così le nostre equazioni (1) quando saranno a coefficienti reali dovranno 
necessariamente essere di uno dei tre tipi ellittici, iperbolico e parabolico perchè pos- 
sano rientrare fra quelle alle quali le nostre trasformazioni saranno applicabili. 
7. L'altra particolarità delle nostre equazioni (1) che interessa molto di rilevare 
è relativa al numero dei sistemi di valori delle X e « pei quali le nostre trasfor- 
mazioni potranno essere possibili, almeno per quanto si riferisce alle condizioni che 
debbono aversi fra i coefficienti dei termini del second’ordine della (1), quando questi 
sono qualunque (reali cioè o complessi). 
Per questo osserviamo prima che quando le derivate seconde che compariscono 
nella nostra equazione (1) sono soltanto derivate miste, allora da quanto si disse 
al $ 5 apparisce subito che se vi sarà un sistema di valori delle X e « che ren- 
dano possibile la trasformazione, ad es. il sistema (13), vi sarà anche un altro sistema 
distinto e uno solo, quello cioè che viene dal sistema stesso (13) mutando le %, 
nelle 4, corrispondenti, e viceversa. 
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la 0 allora ammesso che la equazione non sia del tipo parabolico, è certo, per 
1 

Se poi nella equazione (1) figurerà almeno una delle derivate 
