— 131 — 
quanto si disse in fine del paragrafo precedente, che fra le coppie di variabili (7, , 42), 
(21,43), + (41, n) ve ne sarà almeno una per la quale la equazione non sarà del 
tipo parabolico. Ne segue che se ad es., come può sempre farsi, si suppone che una 
di queste coppie di variabili per le quali la equazione non è del tipo parabolico sia 
la (71,42), facendo 7=2 nella (9) e fissando il segno di e, si vede che per tutti 
i valori 3,4,...r di s pei quali Afs;— An As non è zero il segno di s; verrà pie- 
namente determinato da quello scelto per «., mentre per quei valori di s pei quali 
Aîst—AnAs sarà zero l'e, come dicemmo sopra, non sarà neppure da considerarsi ; 
e se si cambierà il segno già scelto di e. anche tutte queste e, dovranno cambiarlo, 
e quando le equazioni (9) vengano tutte soddisfatte col primo sistema di segni 
delle ss e «s lo saranno pure col secondo sistema — e e — s;; quindi avuto ri- 
: INC oa NATO. ; 19 egpgiaa 1 . a 
guardo ai valori di —* e n dati al S 2, si può dire che cambiando il segno di «» 
1 1 
ke a i È ° 
tutte le —® e O verranno semplicemente a barattarsi fra loro; e se le varie equa- 
1 1 
zioni (9) erano soddisfatte prima lo saranno anche dopo questo cambiamento; e così 
anche in questo caso quando si abbia un sistema di valori delle X e @ pel quale 
le condizioni (4) riescano soddisfatte, si avrà soltanto anche l'altro sistema che si 
ottiene da questo mutando le È nelle ; corrispondenti e viceversa. 
E infine se la equazione data (1) sarà del tipo parabolico, essa dovrà contenere 
almeno una delle derivate Se sia p 000 Sia per es. la de altrimenti non sarebbe 
dI dî dI dI 
del second'ordine; e allora le radici = e 7 della (8) saranno uguali fra loro, e non 
sarà più il caso neppure di parlare di scambiarle luna coll’ altra, talchè per queste 
equazioni non vi potrà essere che un solo sistema di valori delle 4 e « pei quali 
le (4) riescano soddisfatte. 
8. I risultati ora ottenuti mettono in evidenza che quando la equazione (1) non 
è del tipo parabolico si hanno soltanto due sistemi distinti di valori delle %X e @ 
che soddisfino alle condizioni (4) o non se ne ha nessuno, mentre nel caso delle equa- 
zioni che sono di tipo parabolico non si può avere che un solo sistema di questi valori 
delle X e a. E nel primo caso si passerà dall’ un sistema di valori all’altro ‘mutando 
tutte le 7, nelle &, corrispondenti e viceversa; e per ciò questi due sistemi di va- 
lori saranno da noi indicati con (X,@) e (@,%) respettivamente, e saranno detti 
per abbreviare sistemi coniugati. 
Per l’importanza poi di questo risultato specialmente pel caso delle equazioni 
che non sono del tipo parabolico, crediamo utile di mostrare come ad esso si possa 
giungere facilmente anche colla semplice considerazione delle equazioni (4). 
Osserviamo perciò dapprima che trovato un sistema (X,a) di valori delle % 
e 4 pel quale le (4) riescano soddisfatte, è evidente che il sistema coniugato (a, %) 
le soddisferà pure; e a causa delle considerazioni dei $$ 2 e 5 ogni altro sistema 
non potrà aversi che mutando a/cune o tutte delle %, e a, nelle 4, e %, corrispon- 
denti; talchè a prima vista parrebbe che nel caso di n variabili potessero talvolta 
aversi anche fino a 2" di questi sistemi. 


