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Ora distinguiamo al solito il caso in cui la equazione (1) ha soltanto derivate 
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seconde miste, e quello in cui ha anche qualcuna delle derivate —, —,.. 3, 
dI dI3 dn 
p. es. la dI, e osserviamo intanto che nel primo caso per quanto si disse al $ 3 
una e una vb delle due a, e %, per ogni valore di 7 dovrà essere zero; e a causa 
della equazione %,@4s + 4sar= 2A,,s se per passare dal sistema (X,a) ad un altro 
sistema si potesse ad es. cambiare la 7, nella a, e la @, nella %, senza fare il 
corrispondente cambiamento fra le %, e @s, insieme alla precedente avremmo anche 
l'equazione 4,03 + Zskr= 2A,,s, e quindi sottraendo si troverebbe l’altra 
(a, — k,) (s— a)= 0 la quale porterebbe ai casi esclusi di a, = %,=0, 
oas=/s=0; talchè conviene ammettere che o si mutino utte le £, nelle a, e 
viceversa, o non se ne muti nessuna, ciò che mostra appunto che in questo caso non 
possono aversi che due soli sistemi di valori delle X, e 4, cioè i due (XK, a) e (4, £). 

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E se l'equazione (1) avrà almeno il termine dai e on Sarà del tipo parabo- 
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lico per modo che ad es. le -= e = siano diverse fra loro, allora scrivendo la equa- 
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zione precedente sotto la forma => <-- == *— 22, si troverà al modo stesso 
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che il cambiamento di TL Da, e Viceversa porterà quello di — in DIO viceversa 
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quando queste quantità siano diverse fra loro; nè sarà il caso di parlare di cambia- 
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menti o no per le Tania quando siano uguali; e così anche in questo caso non si 
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potranno avere che i due soli sistemi (4, a) e (a, %) di valori delle X e 4, con 
chè il teorema resta così nuovamente dimostrato pel caso da noi ora considerato; nè è 
il caso di fermarci a considerare ancora le equazioni che sono del tipo parabolico, 
perchè per queste risulta subito l'unicità del sistema di valori delle X e « dalle 
considerazioni del paragrafo precedente. 
9. Aggiungiamo che collegando i risultati degli ultimi due paragrafi con quelli 
del $ 6, si può notare che quando la equazione data (1) ha i coefficienti A, dei 
termini del second’ordine tutti reali, e non è del tipo parabolico, i valori delle 
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7 pei quali non sono uguali, sono contemporaneamente #vt## complessi e coniugati, 
o sono zuti reali; e precisamente sono tutti complessi e coniugati o sono tutti reali 
secondochè per le coppie di variabili per le quali la equazione (1) non è del tipo 
parabolico è sempre del tipo ellittico, o è sempre del tipo iperbolico. E così nel primo 
di questi casi i due sistemi di valori (X,a) e (@,%), che soli si possono avere 
, 0 delle %, e 4, corrispondenti a uno stesso indice 7, per quei valori di 
per le X e 4, sono complessi e coniugati per tutte quelle coppie di valori delle di 
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e 7a che non sono uguali fra loro. 
1 
10. Trattandosi poi di equazioni a coefficienti A,,; qualsiasi (cioè anche complessi), 
e sempre pel caso di 2 > 2, se sarà A,, diverso da zero, avendo riguardo ai valori 
dati al $ 2 per a e £ si trovano le formole 
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