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22. Aggiungiamo inoltre ancora pel caso di n > 2, che se non saranno soddisfatte 
nè le (19) o (20) nè le (85), allora per vedere di arrivare alla integrazione della 
equazione (1) coi processi sopra indicati nè l'una nè l’altra delle trasformazioni cor- 
rispondenti ai due sistemi (X,4) e (a, X) di valori della X e @ potrà servire; però 
tanto coll’uno, quanto coll’ altro sistema di questi valori delle 4 e 4 potremo sempre, 
come dicemmo in fine del $ 12, ridurre la equazione trasformata (2) a maneare di 
DAL : 0 0 . d& 
due termini colle derivate prime di 2, p. es. dei due e, ——, quando la 
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equazione data per la coppia corrispondente di variabili (2,,;) non sia del tipo 
parabolico; e allora i valori di 5, M e L corrispondenti a queste trasformazioni spe- 
ciali pel caso del sistema (%, 4) saranno quelli che vengono dalle (21) e (22) o (23) 
cambiandovi in 4 e nelle varie quantità che vi figurano gli indici 1 e 2 negli altri / 
e è respettivamente, e pel caso del sistema (a,%) saranno quelli che vengono dalle 
(37) e (39) o (40) col fare sugli indici 1 e 2 lo stesso cambiamento negli altri 7 e %. 
23. Un'altra particolarità notevolissima delle suindicate equazioni di Eulero- 
Laplace a due variabili, che si estende pienamente anche alle altre equazioni a due 
variabili, e a tutte quelle che qui consideriamo con un numero qualunque di varia- 
bili quando le (19) o (20), o le (35) sono soddisfatte, è quella che le quantità 
Li, Le, Li , Li,e .. che figurano in questi studî sono invarianti della equazione (1) 
dalla quale provengono, cioè non mutano quando nella equazione data (1) si cambia < 
in 4Z, e s'intende divisa tutta la equazione per 4 onde conservare gli stessi coeffi- 
cienti ai termini del second' ordine, qualunque sia la funzione 4 delle variabili 21, #2... %n 
Osserviamo perciò che con questo cambiamento la equazione (1) si trasforma 
nell’ altra 
(46) F(2) + G, de 
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RIMOZI > VW na 8 
are Pla PASS 
intendendo ancora che al solito con F(<) si rappresenti in generale l'insieme dei ter- 
mini del secondo ordine nella (1); e indicato con 77() l'insieme di quelli del prim'ordine 



de dé dI y _ S 
Gi sta + Ga sa ++ Gn Sa della stessa equazione (1) si ha 
ES dloeZ  — 
G:— 0,224, lES. NIN LF 7g); 
e siccome in generale dalle (4) abbiamo 2A,s= 4,05 + /#4,, avendo riguardo alle 
posizioni (16) potremo anche scrivere: 
(47) G= 0 + 44%, N=N-+3- FA) + 7(log 4). 
Ne segue che le quantità A, e K,; saranno ancora le stesse che precedentemente, 
e le condizioni corrispondenti alle (19) e (31) o (35) non rimarranno alterate, e 
quindi tutte queste condizioni saranno soddisfatte senz’ altro anche nel caso della 
equazione (46) quando siano soddisfatte le condizioni corrispondenti per la equa- 
zione (1); e le quantità è, M e B, che ora indicheremo con è, M e B a causa 
delle (17) verranno date dalle formole 
(48) b—b+%, M=M4+4%,, Eppoi 
du 

