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Determinando inoltre per mezzo delle (23) i valori di L, e Ls e poi quello 
di Siria si vede subito che anche la espressione 
Au Gi Ter 2A Gi Go + Agr Gi 





(54) IN ei 
e SL 
2 ( SA 4 
mana At Andar) Sp (Goo Ao Ao9 Ain) PA vin 
_ |An(Ax + Ka) — Avo(A1 + K0){ Gi + JAg(A + 1) — Ans(Ag + K3){ Ga, 
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(Ai “© Ki) Go mu (A. “a Ks) Gi 
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è un altro invariante. 
E aggiungiamo inoltre che, siccome data una equazione (1) delle nostre classi 
si può sempre passare ad un’altra (46) col cambiarvi e in 4Z per la quale gli in- 
varianti siano gli stessi, così profittando della indeterminazione di 4 sì potrà sempre 
partire da una equazione cogli stessi invarianti e nella quale fra i coefficienti delle 
derivate del prim’ ordine sussista una relazione speciale, o sia zero uno dei coefficienti 
medesimi. 
24. Per la circostanza poi che, nel caso di x >2, per la prima parte della 
dimostrazione del paragrafo precedente, può ammettersi, come abbiamo espressamente 
notato, che siano soddisfatte solo le condizioni (19) o (20) senza che lo siano le (35) 
e viceversa, è ora il caso di fare rilevare in modo speciale che si avranno così classi 
di equazioni (1) con più di due variabili per le quali non si avrà che un solo in- 
variante L tanto in principio che per ciascuna delle trasformate successive, e questo 
invariante nel passare da una equazione all'altra rimarrà sempre lo stesso; e si 
avranno classi di equazioni (1) per le quali, come avviene sempre nel caso di due 
sole variabili, vi saranno due invarianti L, e Ls per ogni equazione tanto in prin- 
cipio che per ciascuna delle trasformate successive, senza escludere che i due inva- 
rianti di una stessa di queste equazioni possano talvolta essere uguali fra loro, nel 
qual caso lo saranno anche i due di ciascuna delle trasformate successive seguenti. 
S' intenda che si suppone sempre qui che per le equazioni (1) che si considerano 
siano soddisfatte tutte le condizioni che vengono dalle condizioni (4). 
25. È poi molto notevole che si può anche inversamente dimostrare che aven- 
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e che siano della classe di quelle che hanno ambedue gli invarianti L, e Ls (tali cioè che 
per esse se non sarà 2 = 2, oltre alle (4) siano soddisfatte tanto le condizioni (19) 
o (20) che le (31) o (35)), se si troverà che gli invarianti L, e Ls relativi ai due 
sistemi coniugati (X, a) e (@,%) di valori delle X e @ per la prima equazione sono 
respettivamente uguali agli invarianti corrispondenti della seconda, allora le due equa- 
zioni, quando si faccia astrazione dal termine indipendente dalla funzione # e dalle 
derivate, si ridurranno sempre l'una all'altra col cambiare < in 4, essendo 4 una fun- 
zione conveniente di 1,5; per la quale potranno aversi n —1 valori diversi. 
dosi due equazioni della forma (1) cogli stessi termini del secondo ordine A,.; 
