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sere col valore determinato ‘di 2 G,y= G;, sarà anche N; —N, e si può quindi 
ora asserire che anche per quanto riguarda il coefficiente N, la (55) risulta dalle (1) 
col cambiarvi < in Zz; e così il nostro teorema resta ora dimostrato in tutti i casi. 
Per queste dimostrazioni poi, avendo riguardo alla seconda delle (47) si può 
anche aggiungere che gli n — 1 integrali comuni 4 delle due equazioni lineari del 
primo ordine (57) danno x — 1 integrali particolari della equazione del second’ ordine 
di dÀ 
1 DÀ ) 
da ii NENTI 
1 
MESS dA N 


F(A) +Gi 
che è una equazione che viene dalla equazione data (1) sostituendovi per N la dif- 
ferenza N — N e facendovi H—=0. 
E tutto questo, come già notammo, è sempre nel supposto che le equazioni (1) 
e (55), se sono a più di due variabili, soddisfino alle varie condizioni che vengono 
dalle (4), (19) e (81) o (85) che si richiedono per l'applicabilità dei nostri processi 
di trasformazione, e il determinante 4 non sia zero; mentre nel caso delle equazioni 
a due variabili non si ha altra condizione che quest’ultima relativa a 4, per modo 
che in questo caso vengono ad escludersi soltanto le equazioni del tipo parabolico. 
Volendo poi, alle equazioni (57) possono evidentemente sostituirsi le altre 
d log % 
=2 ng IDA SS 
DU . Gr 

che dipendono direttamente dai coefficienti delle (1) e (55). 
26. Il legame che già risulta alla evidenza, e del quale daremo la spiegazione 
fra breve, fra gli studii generali attuali e quelli fatti dal Darboux per la equazione 
speciale di Eulero-Laplace può spingersi anche più oltre. 
Distinguiamo perciò, quando 2 > 2, il caso delle equazioni (1) per le quali, 
oltre a essere soddisfatte le condizioni che vengono dalle (4), sono soddisfatte altresì 
tutte quelle che vengono dalla (19) o (20) e dalle (31) o (35) per modo che per esse 
si hanno due invarianti L; e quello in cui, oltre sempre alle condizioni che ven- 
gono dalle (4), sono soddisfatte soltanto quelle che vengono dalle (19) o (20), o 
quelle che vengono dalle (35). per modo che per esse si ha un solo invariante L. 
Fermiamoci dapprima sulle prime di queste equazioni, e insieme a queste conside- 
riamo quelle corrispondenti al caso di 2= 2; e osserviamo che, per tutte queste equa- 
zioni vengono ad essere possibili, su esse o su tutte le trasformate successive finchè non 
se ne trovi una con un invariante zero, le trasformazioni corrispondenti all'uno o all’altro 
dei due sistemi (/£,4) e (a,X) di valori delle X e 4. Introducendo poi per queste 
equazioni le notazioni che Darboux introduce per le sue, indichiamo con E, o anche, 
per maggiore analogia colle altre notazioni, con En la parte che contiene 2 e le de- 
rivate nella equazione dalla quale si parte (cioè il primo membro di questa equa- 
zione (1) quando si fa astrazione dal termine indipendente da e dalle derivate, o 
sì suppone nallo); e indichiamo con E, , E, B3 ... le parti corrispondenti delle equa- 
zioni che si ottengono successivamente coll’applicare ogni volta la trasformazione 
corrispondente al primo sistema (£,) di valori delle X e 4; e con E_;, E_3, E_3. 
le parti corrispondenti delle equazioni che si ottengono coll’ applicare invece succes- 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE — Memorie — Vol, IV, Serie 5°. 20 
