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sivamente sempre le trasformazioni corrispondenti al sistema coniugato (@,%) di 
valori delle % e 4; e inoltre in generale indichiamo con & e 4, gli invarianti 
(corrispondenti agli # e % di Darboux) che sopra indicavamo con L, e La relativi 
alla prima equazione E, e con hu;, fx; quelli relativi alla equazione E.;. 
Fatta allora, come Darboux, la serie di equazioni 
(E) D00 E_,; ese) K_s 9 5 4 E_, , E , E, , ID 4 E; queer E; SCCI 
e considerando, in generale, come se fossero le stesse due equazioni che hanno gli 
stessi invarianti L, e Ls o %& e % (perchè dietro i risultati precedenti esse si mutano 
l'una nell'altra col cambiare < in 42), sarà facile vedere che applicando a una delle 
nostre equazioni E, ( posit. negat. o nullo) della serie precedente la trasformazione 
corrispondente al sistema (7,4), la equazione cui essa dà luogo è la seguente Ep+:, 
mentre applicandovi la trasformazione coniugata (@,%), la equazione cui dà luogo 
è la precedente E,_,, e quindi i due sistemi coniugati (£,) e (a,%) di valori 
delle 7% e 4 non danno luogo che ad una unica serie di equazioni, cioè alla serie (E), 
che potrà talvolta arrestarsi in un senso o nell'altro quando sì giunga a un invariante 
nullo; il tutto precisamente come per le equazioni di Eulero-Laplace considerate da 
Darboux. 
Per dimostrare questo, evidentemente basterà prendere a considerare il caso in 
cui p è positivo, e in questo caso limitarsi a mostrare che facendo allora sulla E, 
la trasformazione corrispondente al sistema (4,7) delle (X,a) coniugato a quello (7, a) 
che porterebbe alle equazioni successive E,+1, Ep+2,-. sì passa a una equazione i 
cui invarianti sono quelli %,-1, %-1 della E,-1; nè vi sarà bisogno di fare altre con- 
siderazioni giacchè la trasformazione corrispondente al sistema (/,@) dà senz’ altro 
la Ep+, e i procedimenti per p negativo sarebbero gli stessi; e per p="0 la cosa è 
evidente. 
Ora se alla E, che ha gli invarianti %, e Z, si applica la trasformazione corri- 
spondente al sistema (@,%) di valori delle % e @, e si indicano con H e L gli in- 
varianti della equazione trasformata, per quanto si disse al $ 21 si avrà subito 
H=/,=/-, mentre per la (41) avremo 
Pel 
L—25—ly4-F(log 4) +>P.22+20Q= 
— Qty — lip + P (log hp) + SP, vi aielr:L9q, 
Ma per le (44) si ha anche 
l a 
ER E Sr (10p)/ 00) PIPSIpI eta LIO, 
r 
quindi evidentemente sarà L= /,-,, e questo dimostra appunto quanto volevamo. 
Considerando poi, quando x > 2, le equazioni (1) per lè quali, oltre sempre alle 
condizioni (4), sono soddisfatte soltanto le (19) o (20), o soltanto le (35), per es. 
le (19) o (20), osserviamo che in questo caso sulla prima equazione E, non può farsi 
che la trasformazione corrispondente al sistema (£,@) di valori delle % e 4, e quando 
il suo invariante L non è zero potremo passare alla trasformata successiva E, sulla 
