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essendo I, l’invariante (54), e quindi si ha 
(62) L=U—V, Lìt=U+V 
e quando V sia nullo, cioè quando sia soddisfatta la condizione (60) sarà L,=L,=U, 
dove U è dato dalla (61). 
Osservando poi che per le equazioni (1) che qui consideriamo e che non sono 
del tipo parabolico, se i coefficienti sono reali esse non possono essere che del tipo 
iperbolico o del tipo ellittico ($S 6), se ne dedurrà che le quantità al e 7 collo 
stesso indice o saranno tutte reali, e allora saremo nel caso delle equazioni del tipo 
iperbolico, o quando non siano reali e uguali fra loro saranno complesse e coniugate 
($ 9) (e alcune di queste ve ne saranno sempre) e allora saremo nel caso delle equa- 
zioni del tipo ellittico. In quest'ultimo caso delle equazioni del tipo ellittico, anche 
i valori di L, e Ls quando non siano reali e uguali fra loro saranno sempre com- 
plessi e coniugati, e quindi evidentemente la condizione (60) o V=0 della loro 
uguaglianza corrisponderà appunto anche a quella della loro realità, e viceversa. 
E osservando anche che in questo caso dei coefficienti reali col mutare ; in — la V 
cangia soltanto di segno, mentre U non muta, se ne deduce che U è reale, e V è pura- 
mente immaginario; e si può affermare anche che nel caso delle nostre equazioni del 
tipo ellittico e a coefficienti reali l'essere zero uno degli invarianti L, e Ls porta 
di necessità che anche l’altro lo sia, cioè i due invarianti non potranno essere zero 
che insieme, e quando si abbiano le due condizioni U=0, V=0. 
Infine si deve notare che questi risultati valgono anche pel caso che, supposte 
sempre soddisfatte le solite condizioni (4), non lo siano tutte quelle che vengono 
dalle (19) o (20) e (31) o (85), e le quantità L, e L, si considerino semplicemente 
come quelle che corrispondono alle trasformazioni delle (1) che si ottengono ancora 
(come si disse nei $$ 12 e 22) per mezzo dei due sistemi (X, a) e (a, %) di valori 
delle X e 4 quando si richiede semplicemente che nella equazione trasformata (2) 

, ; Bee 08 d& SI 
manchino 1 due termini @, = era = ; soltanto allora queste quantità L, e Ls, 
da dr2 
come le I e I,, non avranno più (almeno ordinariamente) la particolarità di essere 
invarianti della (1). Sostituendo poi, come nel $ 22, agli indici 1 e 2 gli altri he %, 
nel supposto che per la coppia di variabili ,,; la equazione (1) non sia del tipo 
parabolico, questi risultati saranno relativi alle funzioni L corrispondenti al caso in 
cui nella trasformata (2) si vuole che manchino i termini iS 3 ai 
28. Prima di procedere oltre in questi studî fermiamoci su un caso particolare 
che merita di essere considerato in modo speciale, quello cioè in cui sono costanti 
i tre coefficienti A,,, A,,s, Ass relativi alle derivate seconde corrispondenti alle due 
variabili 4, e «4; soltanto, nel supposto che per questa coppia di variabili la equa- 
zione data (1) non sia del tipo parabolico. 
Presa questa coppia di variabili per la (41,%»), potremo supporre costanti 
senz'altro.le 4, e @, e allora lo saranno anche le 4. e a:, e le A; Ag, KG 
saranno Zero. 
