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tutte le %; e 4;, e zero tutte le K, e A;, le condizioni (63) si ridurranno alle altre 
più semplici. 
(a Kn 16m in hp Ch 
(66) Or ego to i (= 
les ds Gs A, Ass Gs 
e quindi le relazioni fra le G, , Gs, Gs oltre ad essere lineari saranno anche omogenee, 
e le (31) saranno identicamente soddisfatte senz’ altro; per modo che, in questo caso 
dei coefficienti A,.; tutti costanti, per l’ applicabilità di tutte le nostre trasformazioni 
alla equazione (1), quando x > 2, si richiederà soltanto che riescano soddisfatte tutte 
le condizioni che vengono dalle (4) e le (66), perchè allora le (31) verranno soddisfatte 
da sè; mentre per 2 =2 non si avranno al solito condizioni di sorta. 
E in questo caso dei coefficienti A,s tutti costanti, le nostre equazioni non po- 
tranno essere altro che della classe di quelle con due invarianti L, e non ve ne sa- 
ranno di quelle con uno solo di questi invarianti. Per esse poi il valore di Li, pren- 
derà la forma più semplice 
Li,,=2L— La + F(log Li) 
che concorda perfettamente con quella nota relativa alle solite equazioni Eulero-La- 
place con due variabili; per modo che quando sia soddisfatta la condizione I= 0 
che si richiede per la eguaglianza dei due primi invarianti L, e Ls, o per la loro 
realità nel caso delle equazioni del tipo ellittico a coefficienti reali, si avrà 
Li = L+ F(log L) 
essendo L il valore comune dei due primi invarianti L, e Ls. 
E poichè in questo caso dei coefficienti A,, costanti, per la equazione più sem- 
plice F(2) + L:=H vengono ad essere soddisfatte identicamente le condizioni (66) 
e i suoi due primi invarianti L, e Ls sono appunto uguali a L, così per quanto sì 
disse ai SS 23 e 25 la equazione (1), nella quale s'intende che se n > 2 i coeffi- 
cienti A, oltre ad essere costanti soddisfino alle condizioni che vengono dalle (4) 
e fra le G,, Gs, Gs sussistano le relazioni (66), quando si abbia I==0 si ridurrà 
sempre a questa forma semplice col cambiarvi < in 42, essendo 4 una funzione con- 
veniente di 4, ,2,...4n; e Viceversa se essa si ridurrà alla stessa forma F(c) + Le= H 
sarà necessariamente I= 0. E se si dovrà ridurre alla forma F(2)="H che contiene 
soltanto le derivate del secondo ordine, dovranno essere zero ambedue gli invarianti 
I e I, e viceversa (1). 
E quando per questa equazione F(2) + Le = H non sia L=0, perchè possa ve- 
nire Li, =0 alla seconda trasformazione, bisognerà che L soddisfi alla equazione 
L+ F(og L)= 0, la quale nel caso di 7.= 2 e A,,=Axg=1, A,»=0 è la nota 
equazione di Liouville. Le equazioni quindi che sono della forma F(e)-+Le=H, e 
(1) Questa particolarità, pel caso delle equazioni a due variabili e della forma 
ds DE gg 
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Annali di Matematica di Milano, serie II, vol. 23, pag. 225. 


-- Nz=0, fu rilevata dal Burgatti in una Memoria pubblicata negli 
