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nelle quali i coefficienti A,; sono costanti, e se n >2 soddisfano alle varie condi- 
zioni che vengono dalle (4) s integreranno tutte (e anche, come vedremo al $ 31, con 
sole quadrature) quando L sia una funzione che soddisfa alla equazione F(log L)-+.L=0. 
29. Tornando ora al caso generale, giova fermarci un poco più sulla circostanza 
appena accennata al S 24, cioè su quella che gli studî che abbiamo fatto portano a 
dire che quando il numero delle variabili è superiore a due, le equazioni a derivate par- 
ziali (1) alle quali si applicano le nostre trasformazioni possono dividersi in due 
classi, cioè: 
A) quelle nelle quali finchè non si giunga a un invariante nullo L possono 
farsi sucessivamente tutte le trasformazioni corrispondenti ad ambedue i sistemi co- 
niugati (£,@) e (a, %) di valori delle % e 4; e per queste equazioni vengono sod- 
disfatte le condizioni che risultano dalle (4) e dalle (19) o (20), e dalle (31) o 
(35), e si hanno le varie particolarità indicate nei paragrafi precedenti; 
B) quelle per le quali può farsi su esse soltanto una delle trasformazioni 
corrispondenti ad uno dei due sistemi (£,a) e (a, 4); e poi quando l’unico inva- 
riante L che si ha per esse non venga nullo, anche sulle successive equazioni tras- 
formate non si può fare che una sola delle trasformazioni stesse, e precisamente ogni 
volta può farsi soltanto quella che non poteva farsi nella trasformazione precedente, 
per modo cioè che le trasformazioni corrispondenti ai due sistemi (£,4) e (@,%) 
possono farsi ancora tutte e due, ma soltanto una per ciascuna equazione trasformata 
e alternativamente. E per queste equazioni oltre alle solite condizioni che risultano 
dalle (4) vengono soddisfatte soltanto quelle che risultano dalle (19) o (20) senza 
che siano soddisfatte tutte quelle che risultano dalle (31) o (35), o viceversa, e per 
esse l’invariante L quando non risulta zero per la prima equazione viene Jo stesso 
per le trasformate successive indefinitamente. 
Per abbreviare, chiameremo d'ora innanzi equazioni della classe (A) le prime, 
e equazioni della classe (B) le seconde; e nella classe (A) comprenderemo anche 
tutte le eqnazioni a derivate parziali con due sole variabili perchè, secondo quanto 
abbiamo detto ripetutamente, a queste si applicano tutti i nostri studî e trasforma- 
zioni senza che per esse si abbiano condizioni di sorta. 
Le equazioni della classe (B) invece si avranno soltanto nel caso che le varia- 
bili siano più di due, e, in questo caso, soltanto quando i coefficienti A, dei termini 
del secondo ordine non siano tutti costanti ($ 28). Per queste poi, quando l’unico 
invariante L che allora si ha non sia zero, l'integrazione non potrà mai effettuarsi 
col processi sopra indicati per mezzo di equazioni del primo ordine neppure colle 
successive trasformazioni, come invece in molti casi potrà farsi per le equazioni della 
classe (A); ma quando lo stesso invariante sia zero l'integrazione potrà effettuarsi 
subito cogli stessi processi anche per queste equazioni. In altro lavoro poi, mostrerò 
anche come, con trasformazioni successive di un genere differente da quelle conside- 
rate finora, anche queste equazioni (B), come pure le (A), possano in molti casì ve- 
nire integrate per mezzo di equazioni del primo ordine; e quindi, anche la consi- 
derazione delle equazioni (B) che questi studî generali hanno messo in evidenza, 
presenta una particolare importanza in quanto dà luogo a classi di equazioni inte- 
grabili. 
