— 160 — 
30. Le equazioni a più di due variabili della classe (B) corrispondono eviden 
temente in certo modo al caso trattato da Eulero per le solite equazioni a due variabili 
del tipo iperbolico senza il successivo complemento di Laplace che per le equazioni 
stesse (B) non può farsi. 
Quelle della classe (A) invece corrispondono pienamente a quelle di Eulero-La- 
place, e anzi l'avere trovato che ad esse si estendono completamente i risultati che 
si hanno per queste fa presentire che fra le equazioni medesime (A) e quelle di 
Kulero-Laplace debba esistere uno stretto legame, e forse anche che possano ridursi 
tutte a queste ultime con opportune trasformazioni. 
Ed è questo appunto che avviene, come ora passerò a dimostrare ; e se, dopo ciò, ver- 
ranno a spiegarsi e ad apparire naturali i risultati che si sono ottenuti per le 
stesse equazioni (A), non cesseranno per questo gli studî che abbiamo fatto di avere 
una qualche importanza, inquantochè sono semplici e generali e non richiedono le 
indicate riduzioni delle equazioni stesse alle equazioni tipiche di Eulero-Laplace a 
due variabili; la possibilità delle quali riduzioni presenta difficoltà tali da renderle 
più teoriche che pratiche, per modo che è sempre utile che si possano ottenere i 
nostri risultati indipendentemente da quelle riduzioni delle equazioni date alla forma 
tipica di Eulero-Laplace. E d'altra parte rimarrà sempre anche il fatto che è con 
questi studî generali che si è potuto mettere in evidenza la esistenza delle equa- 
zioni a più di due variabili della classe (B) che in certi casi possono integrarsi, cosa 
questa che ha pure evidentemente la sua particolare importanza. 
In ogni modo che la riduzione delle equazioni (A) alla forma tipica di Eulero- 
Laplace per un numero qualunque % di variabili (2 ="2 inclus.) possa sempre farsi 
si dimostra nel modo seguente. 
Si scrivano le due equazioni a derivate parziali del primo ordine 


dA dA dA £ 
\ Ag 900 dn = =; 
37 i e 
(e ) d Ò dd 


A dA 
ki ko 900 (ii — 10} 
1 da, arl dd3 ra dn 
il primo membro delle quali costituisce la parte che contiene le derivate del primo 
ordine nelle nostre formole e funzioni trasformatrici, e precisamente nelle espressioni 
di 6 e nel primo membro della equazione data (o delle sue trasformate successive) 
dopo l'introduzione della funzione ausiliaria 6. 
Queste equazioni concordano pienamente colle (58) del $ 25 quando in esse sia 
supposto p, = px=0 0 qg=" g2= 0; e supposto quindi che 414, — 4.4, non sia 
zero, basta ripetere i ragionamenti fatti al $ 25 stesso per concluderne che esse 
conducono subito a un sistema jacobiano di due equazioni con 7 variabili 21, <2, .. 4a; 
e quindi se 2 > 2, esse, oltre all’inteorale 4= cost che naturalmente si esclude, 
hanno x — 2 integrali distinti comuni 
A, i fi(e1 103, ap) Ag a fe(x1 102, 00 Ta) DO Ano = Da (1 102, 2) s 
e per 2 = 2 non ne hanno nessuno. 
