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Preso poi l’altro integrale 4=w(%1,%2,..- 4) della prima equazione, distinto 
dai precedenti, che sappiamo dalla teoria generale delle equazioni lineari del primo 
ordine che deve esistere, e preso inoltre l’altro integrale 4= v(w1, 22, 4) della 
seconda, distinto dai precedenti come da w(1, 2... <n), che pure deve esistere, po- 
tremo fare un cambiamento di variabili, introducendo come nuove variabili le 
A,,Ag,...An-a,u e v mediante le formole 
fi(2, La End, fa(2 Bardo Ma) = gv fne(1 Gg op) = 4g 
Ano 50 Ba) =V Up) = 
per le quali possiamo supporre che inversamente, almeno in certi campi, definiscano 
le 41,2, :. 4, in funzione delle 4), 4... 4n-0,% e v; e questo avverrà anche 
se #=2, mancando allora soltanto le 4,,43,... Are. 
Allora, siccome trasformando una funzione qualsiasi Z(w,,%2,..<») nella sua 
corrispondente Z(4,, 43, ... 4n-2,%,v), avremo in generale 
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si vede chiaro che le espressioni 


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si trasformeranno respettivamente nelle altre 
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(lisa i xa 2 ni re dan) du du 
essendo u e »v quantità che come tutte le altre 2, M,L,H che figurano nella (2) 
potranno intendersì ridotte ad essere funzioni di 4}, 43,...4,-2,% @ v; quindi 
evidentemente la equazione (1) dopo ridotta alla forma (2) verrà a cambiarsi colle 
nuove variabili nell’ altra 
DITRG da 
e; (+ 2) +M(» So +) RMS RE(0 
che eseguendo i calcoli si riduce subito alla forma tipica delle equazioni di Eulero- 
Laplace (2). 
(1) È degno di nota che il processo di dimostrazione che qui abbiamo seguito si può appli- 
care evidentemente anche alle equazioni (1) con più di due variabili per le quali, essendo ancora 
soddisfatte le condizioni (4) e le (31), non si richiede che siano soddisfatte anche le (19) o (35); 
e si può affermare in conseguenza che tutte queste equazioni (alla pari di quelle con due variabili 
per le quali non si hanno condizioni di sorta) con un opportuno cangiamento di variabili si pos- 
sono ridurre alla forma 
diz nd "a 
dado dan 
essendo 4,42} +. Ana 34; 0 y,0 funzioni delle nuove variabili 1,2, Uno, u,%. 
n OZ 
Ana LA, SA 4057 y8 d=0, 



CLASSE DI SCIENZE FISICHE — MemorIE — Vol. IV, Serie 5°. 21 
