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31. Accertata così la possibilità di ridurre tutte le equazioni della classe (A) alla 
forma tipica di Eulero-Laplace colla introduzione degli x — 2 integrali 43, 42, .- Ao 
comuni alle due equazioni (67) e dei due non comuni x e v come nuove variabili, volen- 
dolo, potrà farsi prima questa riduzione, e allora la integrazione della equazione data, 
quando prima o poi si giunga a un invàriante nullo, si riporterà e quello della equa- 
zione ridotta che si farà con sole quadrature e le funzioni arbitrarie che compari- 
ranno nell’ integrale saranno funzioni una deile sole 4,,43,... An-2,%, e l'altra 
delle sole 4, , 43, ... 4n+»,0, per modo che riportandoci poi alle variabili primi- 
tive 2, , da, ...4n le funzioni arbitrarie stesse oltre che dalle funzioni /1(21, 22, n), 
fol L2)0 Un) fna(41 12, n) dipenderanno l'una soltanto dalla (21, 42, n) 
e l’altra soltanto dalla dvx), 42, ... 4). E di queste funzioni arbitrarie una figurerà 
sotto un integrale. 
La rieerca però degli x — 2 integrali comuni alle equazioni (67) dovrebbe farsi 
ordinariamente colla integrazione di un sistema di n — 2 equazioni differenziali del 
primo ordine e sarebbe penosissima. Conviene dunque, possibilmente, continuare a 
fare gli studî sulla equazione generale data (1), e coi processi generali, senza ricor- 
rere alla riduzione alla forma tipica di Eulero-Laplace, e con ciò avremo anche il 
vantaggio di continuare a trattare contemporaneamente anche il caso delle equa- 
zioni (B) quando queste possono considerarsi. 
Questo inteso, osserviamo che quando per una data equazione (1) i nostri pro- 
cessi di trasformazione risultino applicabili, e fino da principio o dopo alcune tras- 
formazioni successive sì giunga a trovare un invariante L nullo, allora, come già 
notammo, se la trasformazione che si applicherà sarà quella corrispondente al sistema 
(X,a) di valori delle X e @ l'integrazione della equazione data (1) si ridurrà a 
quella di due equazioni del primo ordine 
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(©) 

\ kx SEE + kn + M0+H-0, 
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(68) 

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di 5a 

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per le quali, se l'invariante che risulterà zero non sarà quello che comparirà alla 
prima trasformazione, si deve intendere che le 0,z,M,d3,H saranno le funzioni che 
si saranno ulteriormente introdotte; e se la trasformazione applicata sarà quella cor- 
rispondente al sistema coniugato (a,%) delle X e @, queste equazioni verranno ad 
invertirsi nei coefficienti delle derivate. 
Ora ammettendo che si debba occuparsi delle (68), osserviamo che quando si 
sieno trovati x — 1 integrali distinti w1,%2,... un, della equazione 
(69) 4. an a 0, 

introdotta un'altra funzione u(%,, 42, .. 4) che non sia essa pure un integrale della 
