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ture si ridurrà alla ricerca dei fattori integranti delle varie espressioni differenziali 
i, de, — dtr, Kde, — dae, essendo le 4, e 4, le radici della equazione 
Ar 4 — 2A,r4-+Am=0, 
pei varî valori 2,3, ...2 di 7, e intendendo che queste radici con successive elimi- 
nazioni fatte nell'ordine e nel modo sopra indicato siano ridotte a dipendere dalle 
sole variabili 2, e «, e dalle (79) o dalle (80) secondochè le radici 4, e 4’, corri- 
sponderanno alle %, o alle 4,. 
E siccome le indicate espressioni differenziali Z, dx, — de, , 4,da,— dx, , al 
l’infuori del fattore A,, sono evidentemente quelle nelle quali si scompone il trinomio 
Ada, — 2A, dx, dx, + Ary daî che, quando si considerano separatamente le varie 
coppie di variabili (21, ,), uguagliato a zero ci dà la equazione delle caratteristiche 
corrispondenti a queste variabili 4, e ,, si può anche dire evidentemente che sotto 
le indicate condizioni 4), 2), c) la integrazione della equazione (1) nella quale A, 
non è zero si riduce sempre a dipendere, oltre che da alcune quadrature, dalla  ri- 
cerca dei fattori integranti delle espressioni differenziali binomie (reali o complesse) 
nelle quali si scompongono i primi membri delle equazioni delle caratteristiche re- 
lative alle varie coppie di variabili (@1,,), 0 a trovare gli integrali di queste ca- 
ratteristiche sempre, bene inteso, dopo fatte le successive eliminazioni sopra indicate. 
83. In particolare dunque se i rapporti nr e Ary per ogni valore di 7 (!) di- 
11 11 
penderanno soltanto dalle variabili 4, e ,, le condizioni è) e c) verranno soddisfatte 
senz'altro, e allora non occorreranno neppure le successive eliminazioni delle quali 
abbiamo sempre parlato; e più particolarmente ancora se i coefficienti A,, saranno 
tutti costanti, con che la equazione data non potrà essere che della classe (A), al- 
lora le 4, e 4‘, saranno pure costanti, e oltre ad essere soddisfatte senz’ altro le con- 
dizioni 2) e c), le espressioni 4, dx, — da, , X, dx, — da, saranno già differenziali 
esatti, e i loro integrali saranno 4,2%, — @, e X,&%,— &r. 
In questo caso dunque, quello cioè dei coefficienti A,s tutti costanti, le equa- 
zioni (1) della classe (A) saranno tutte integrabili con sole quadrature. 
Si deve poi osservare in generale che, quando nella equazione (1) vi siano varî 


3 bla RIN 6 dî : T 1 : ; 
dei termini >, —;--. 5. SÌ potrà scegliere come termine di partenza per 
di dI 047 
fare figurare il suo coefficiente come figurava l’A,, uno qualsiasi di quelli (quando 
ve ne siano) pei quali le indicate condizioni 2) e e) risultino soddisfatte; e fra questi 
si potrà scegliere quello pel quale la ricerca degli indicati fattori integranti riesce 
più semplice. 
(1) Notiamo che dovendo essere sempre soddisfatta la condizione (9), l’essere per ogni valore 
Ar Ù Arr rs 
Au An Ani 
sia della forma g(@1,%,) We, 2) + P1(21, 21) Vi(21, 25); e in particolare l’essere costanti 
Ani Ag; 00 Anno @ Ano, A1,9, Ann porta che siano costanti anche tutti gli altri coefficienti A,s 
delle derivate seconde nella (1) 



di r i rapporti funzioni soltanto di x, e 4, porta di necessità che il rapporto 
