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indicata con M senz'altro; e mentre nella prima formola s'intende che tutto sia 
espresso per le variabili w,,%2,..&n-1, 45, nella seconda s'intende che tutto sia 
espresso per. le variabili 0,02, Un, 47. 
In questo caso per gli integrali w,,%»,.. %n-1 potranno prendersi ($ 32) le 
espressioni %rzo — #c4, nelle quali 7 deve assumere tutti i valori 1,2, ... 7 meno 
il valore o, e per gli integrali vw, 02, ..- Una possono prendersi le espressioni 
Ur dr — dx, nelle quali 7 deve prendere tutti i valori 1,2, ...% meno il valore . 
37. Per le equazioni delle classi (A) e (B) da noi considerate in questa Me- 
moria, quando con una o più trasformazioni successive si giunga a un invariante L 
nullo, l'integrazione si riduce sempre a dipendere da quella di due equazioni del 
primo ordine che hanno la forma 



2909 
fi E pi 4 dl + M0+H=0, 
CAI 
de 8 dE 
500 SS ga—= 0. 
A DI 3 da sal real 
Ora inversamente è facile vedere che a ogni sistema di equazioni di primo or- 
dine della forma 
20 20 
\05; moda eco o GE HIE=0) 



86 ; dI) do dI 
( 0 Sp CIA n 
Do ti n da mala 
nelle quali le Xen rar ®,7 sono funzioni date qualsiansi delle sole #,,42;.- n, 
tali però che le X, e X, collo stesso indice non abbiano tutte fra loro uno stesso 
rapporto e non siano zero insieme, dà luogo a equazioni del secondo ordine che sono 
integrabili per mezzo di queste, perocchè ad esse corrispondono sempre equazioni 
della forma (1) per le quali una almeno delle solite nostre trasformazioni è possi- 
bile, colla conseguente riduzione alle equazioni (86), e che possono quindi, come di- 
cemmo, essere integrate per mezzo delle equazioni stesse (86), quando il coefficiente N 
della stessa equazione (1) sia preso in modi convenienti. 
Si potrà infatti sempre costruire una equazione del secondo ordine come la (1) 
per la quale i coefficienti A,; siano determinati dalle formole 2A, = X, x INC er 
e le G,,G,,...Gs,...G, siano determinate dalle altre 
GEA +XZ+X 09, 
iano Are 
G= A 5 Z4X, O, 
= 450 
Sd : Ta e DG A i 
nelle quali in generale si ha As= 3%; e per la equazione (1) così costruita 
dt 
è evidente che le condizioni (4) e le (19) risulteranno soddisfatte quando si prenda 
