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= eg = Ke a con M=0@®, b= % di modo che la equazione stessa se n > 2 
sarà per lo meno della classe (B), e verrà ad essere della classe (A) quando sia n=2, 

o quando posto i=S x, Th: siano soddisfatte anche tutte le equazioni 
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Vee i I 
(87) VARO SSA 10 
Net x)! rt 1 
che corrispondono alle (31). 
La stessa equazione poi sarà integrabile per mezzo delle equazioni date (86) 
quando nel caso che essa risulti della classe (A) N sia preso in modo che il primo 
o uno dei successivi invarianti L risulti uguale a zero; e lo stesso avverrà anche 
quando, essendo 2 > 2, la equazione risulti della classe (B) per non essere soddisfatte 
le (87), e N sia preso in modo che L risulti zero alla prima trasformazione, cioè sia 
VA 
dB 
In particolare se le X e X nelle (86) saranno tutte costanti, e quelle collo 
stesso indice non avranno tutte lo stesso rapporto e non saranno zero insieme, la 

preso N=Z0 + XX, 
equazione (1) che abbiamo costruita risulterà della classe (A), perchè le As e K, ver- 
ranno tutte zero, e per valori convenienti di N sarà subito integrabile con sole 
quadrature. 
E se saranno costanti le due X, e X, e tutte le X senza che sia DG DA — Xy Tu 10} 
e al tempo stesso le X3... X, saranno funzioni convenienti di 1,42; 4 
per le quali le K, ORE K, non risultino tutte zero, la equazione che abbiamo co- 
struita risulterà della classe (B), e per N — Z0 ox, i sarà sempre integra- 
bile per mezzo delle (86). 
38. Per dare qualche applicazione di questi studî, ci fermeremo a considerare 
in modo speciale i casi di due e di tre variabili indipendenti, incominciando da quello 
di due variabili. 
Questo caso è Si della equazione 
dg 
DIS un 


(88) Anzi +24x:> 

TN H=0, 

dI 
che comprende tanto le equazioni di Eulero-Laplace, quanto quelle di Legendre che 
possono ora trattarsi insieme completamente, senza distinguere le une dalle altre. 
Anzi possiamo dire di averle già trattate, giacchè per l'applicazione dei nostri 
processi nel caso di due sole variabili, non avendosi altre equazioni da soddisfare 
che le (4), non si hanno fra i coefficienti condizioni di sorta, e le trasformazioni sono 
tutte sempre possibili. 
Le formole quindi pei varì valori delle è, M,L relative alla prima trasforma- 
zione e alle successive si ottengono subito da quelle generali che abbiamo date po- 
