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nendovi per le A,s, Gs e N i valori che figurano nella equazione data; e con queste 
potremo formare la serie di equazioni (E) del $ 26; e quando questa serie di equa- 
zioni si arresti almeno in un senso, cioè quando si giunga a una equazione E; o E; 
per la quale l’invariante corrispondente L; o L_; sia zero, la integrazione della nostra 
equazione (88) si effettuerà con sole quadrature dopo di avere trovato gli integrali 
particolari di due equazioni lineari del primo ordine a due variabili. 
E fermandosi in particolare sul caso in cui i coefficienti A,,, Ai, e Az3 sono 
costanti, sempre nel supposto che l'equazione non sia del tipo parabolico, e osser- 
vando che si ha sempre 4 =/4> — Kkoax=2e//A%, EZIO cone=0, o8s=—l1 
secondochè si vorrà fare una trasformazione o quella coniugata, per quanto si disse 
al $ 28 si troverà subito 
Ly=01h4+1, L_=L—1, 
essendo I e I, i due invarianti 
RA LIT (ui IG) 
28 VA& — Ando ( DI ti dA1 da, n) NI) 
ia 25] 
4(Aî — Àn As2) 2\dI: dI 



b) 
») 

I=N# 
e. come si disse anche più in generale allo stesso $ 28, onde i due invarianti L, 
e L_, siano uguali bisognerà che l’invariante I sia zero, e questa condizione quando 
la equazione sia di tipo ellittico e a coefficienti reali sarà anche quella che si ri- 
chiederà perchè gli invarianti siano reali, talchè in questi casi sì avrà sempre 
Ly=L-,=1I,; mentre onde i due invarianti L, e L_, siano zero insieme bisognerà 
che lo siano ad un tempo I e I,. 
Osservando poi che anche la equazione più semplice a coefficienti costanti 


dz DES 04. 
A DA 13 4 As > = 0 
dr do dI d£2 ui dai È 
ha i due invarianti nulli, si vede che tutte le equazioni (88) a coefficienti costanti 
per le quali I e I, risultano zero insieme e H pure è zero, col cambiarvi 2 in %s 
per un valore conveniente di % si riducono a quest’ ultima, l'integrazione della quale 
dipende da quella delle due equazioni del primo ordine 
90 909 DI Dz 
lee + 4» 
dI dI dI dr 
10, 



le, 
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per modo che il suo integrale è 
e=P(4d — GM) Wrc ke di), 
essendo 4 e w i simboli di due funzioni arbitrarie; talchè in particolare prendendo 
g(t)=log(f1—t), w()=log(£— %) con £ e 4, costanti, si troverà l'integrale 
particolare 
&= log I Aso(41 = E)? i 2A12(Z1 = È) (£° = E) + Aud. — E)? t 

con &, e $, costanti arbitrarie, che nel caso di A;;= Ass=1, A;3=0 si riduce 
a quello notissimo “= log }(e— 2.) +(y—%)°|. 
