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suddette possono in molti casi ridursi a queste; ma quando le ultime condizioni 
sopra indicate non sono tutte soddisfatte, i risultati subiscono sostanziali modificazioni. 
D'altra parte col mantenere tutte queste condizioni le classi di equazioni da 
considerarsi vengono a subire una forte limitazione; è utile quindi fare degli studî 
anche pel caso che queste condizioni non siano soddisfatte, o lo siano soltanto in 
parte; e noi perciò faremo ora astrazione da queste condizioni, ammettendo solo che 
siano soddisfatte quelle per le quali la riduzione della (1) alla forma (2) è possibile. 
Così però, restandovi nei processi di trasformazioni le due indetermjniate è e M, 
potremo sempre, come già feci rilevare anche al $ 12 della Memoria citata, profit- 
tarne per fare sì che nella (2) spariscano due qualsiasi dei termini i d; Da 
DIR dI 
corrispondenti a una coppia di variabili (#,,:) per le quali la equazione data (1) 
non è del tipo parabolico; ma noi lasceremo questi coefficienti è e M assolutamente 
indeterminati, riservandoci di determinarli poi con queste o con altre condizioni come 
più ci sarà comodo; e giungeremo allora a risultati che mi sembrano di una certa 
importanza in quanto che in casi assai notevoli conducono anche a nuove classi di 
equazioni per le quali l'integrazione può effettuarsi. 
2. Ciò premesso, indichiamo con Z,u,4'.,w' altre quattro indeterminate tali | 
che il determinante (Zu)=4u'— Z'u non sia zero, e alle equazioni (2) e (3) 
sostituiamo le seguenti: 





30 30 Ì 
2(% dar) "a ui + i) + (AM — u)0 + (4a, + ua) >» + ne: + 
+ (en + pan) + (214 n) +28 =0, 
(CO) 0 % È | 
(# = Aipseia + È) + (VM — wu) 04 (Ae, 4 w'0)) > li vede 
Ù , d8 I r 1 , 
+ Wan + w'@) == + (21+ #00) +8 =0 
le quali potranno tenersi invece delle (2) e (3) perchè, sotto la fatta ipotesi che (4w) 
non sia zero, da esse le (2) e (3) risulteranno sempre. 
Escluderemo il caso che i valori di @;,@,,... e, siano tutti nulli, o risultino 
proporzionali ai coefficienti 4, @»,.. 4, nel qual caso del resto chiamando p il va- 
lore comune dei rapporti De "0 < la (2) potrebbe porsi sotto la forma 
1 2 n 
29 
dn 

to +4 dn 2° 4 (ML) 04 (Lpd): + H=0, 
e saremmo nel caso considerato nella Memoria precedente. 
Con ciò i coefficienti Za, + ua, , Zag + was... Zen + uan nella prima delle 
equazioni (4), e gli altri Ve, 4- wa, Va» + war, ... Van + u'an nella seconda, non 
potranno evidentemente essere tutti zero, e inoltre per essere il determinante (4u) 
diverso da zero, i primi degli stessi coefficienti non potranno risultare proporzionali 
al secondi. 
