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Segue di qui che la equazione che si ha da questa cambiandovi vs in v ha tutti 
gli integrali w,,%2,... un-1 della (5) e non ne differirà perciò altro che per un fat- 
tore © indipendente da s e da 7; dunque dovremo avere evidentemente per #4 = 1,2,...7 
O 3o| 004 100) PEGLI _ (00,4 ua) EAT) |_ 
== (40, + uan) + Q(2an + U "an) o) 
doge; 

quando si ponga 2 = — X, (Ze, 4 wa) ; e poichè per n>2 questa è la 
condizione perchè le due equazioni 
dU 
i I 
(25) S(2en + pa)" =0, —0, 
dIN 

che sono supposte distinte fra loro, costituiscano un sistema completo, ne segue che 
queste per 7 > 2 dovranno avere n — 2 integrali comuni, mentre per n= 2, come 
già abbiamo ammesso, non devono averne nessuno; e evidentemente siccome il deter- 
minante (Zu) è diverso da zero, altrettanto dovrà avvenire delle due 
dU dU 
0A I, == 0, 
dI 00h 

(26) Zan 
e viceversa, e dovremo avere le condizioni 


(27) >(4, Sa = Gp DI = Lan + Man, 
per 7=1,2,...7, e con / e m indipendenti da 4; e queste condizioni sussiste- 
ranno anche per 2=2 quando, come appunto allora supponesi, 4,.@, — 4,@, non 
sia zero, perchè allora evidentemente vi saranno sempre valori speciali di / e 7 che 
le soddisfano. 
8. Inversamente ammettiamo ora che le equazioni (26), o (25) (il che è lo stesso) 
costituiscano un sistema completo; allora sarà facile vedere che se s'intende sempre 
che per %1,%2,... n-, siano scelti 2 — 1 integrali distinti della prima delle (25) e 
che w; non sia un integrale della seconda, i rapporti (22) saranno anch'essi inte- 
grali della prima delle (25), e quindi si esprimeranno per %,,%g,.. %n-1 Soltanto. 
Si osservi infatti che quando le equazioni (25) costituiscono un sistema completo, 
sì avranno necessariamente 7 equazioni della forma della (24) corrispondenti a tutti 
i valori 1,2,.. di & e per valori adattati di w e £ indipendenti da 7%; e quindi 
se per le 1,2, ...Un-1 Saranno presi 7 — 1 integrali della prima delle (25), mol- 
tiplicando la equazione (24) per SÈ essendo s uno qualunque dei numeri 1,2,...2—1, 
c 
e sommando poi le 7 equazioni che se ne deducono col farvi 4=1,2,... otter- 
remo l’altra 
da 

CLASSE DI SCIENZE FISICHE —- MemorIE -— Vol. IV, Ser. 5°. 56 
