— 458 — 
che legano in modo semplice gli invarianti L, e L» della equazione (59) dalla quale 
si parte a quelli L, e Ly della nuova sua trasformata in @ (56). 
E questo sempre nel supposto che se L, e Ls sono gli invarianti qualsiansi 
(anche zero) della equazione (59) dalla quale si parte, @, non sia preso arbitraria- 
mente, ma per esso sia preso uno qualsiasi degli integrali della equazione del se- 
condo ordine (68) o (64) che viene dalla solita condizione (30), e che nel caso parti- 
colare di L,=0 prende la forma seguente: 
PLAN Ci _ 
dA IZIRRI 
aa 
che dopo una prima integrazione rispetto a x, (che si fa immediatamente) si riduce 
ad una equazione di Riccati. 
Il fatto poi che delle due quantità è e M, o &, e @» una doveva restare ar- 
bitraria ($ 12), nonchè l’altro che per essere 9 = G, — e, , @> non figura nè in @ 
nè nella equazione (68) o (64), spiegano come la quantità stessa @» non venga af- 
fatto a figurare nella equazione trasformata in @ (60), nè nelle formole successive, 
e resti del tutto arbitraria, per modo che potremo prendere sempre senz'altro a,=0. 
20. È poi da osservare che come quando L, o L, non sono zero, sulla equa- 
zione (59) possono farsi le trasformazioni successive di Laplace giungendo così agli 
invarianti Li, e Ls, del $ 21 della Memoria precedente, senza tener conto degli 
altri Li,» e Ls, che riproducono Ly, e Ls, così sulla (60) quando Tù 0 Ùn non sono 
zero possono farsi le stesse trasformazioni che daranno luogo ai nuovi invarianti ana- 
loghi Li, e Ls, relativi alla (60) stessa. 
E avendosi, quando L, non è zero, 
d° log Li 
(66) Th == 2L, == Lo + da dia , 
se si osserverà che la prima delle (65) ci dà subito la seguente: 
la _ I dep PET 0g 
dI dI 
e questa derivata rispetto a 4, e sommata colla precedente dà luogo all'altra 
da, Di d° log @y (247 
Vi dg 

Lu + 
a (ela a tica 
DI i) nol — LASA 
basterà tenere conto della (62) per trovare subito la formola 
Gal do (e, L 
67 È == —_— Ag 
(0) | ELE 2 ( Tn ) 
che lega gli invarianti L, e Li, della (59) all’invariante L, della equazione in 6 (60), 
nel supposto che L, sia diverso da zero. 
