— 460 — 
In seguito a questo, esaminando ora i varî casi che possono presentarsi, si potrà 
dire evidentemente che quando fatto il passaggio dalla equazione (59) alla (60) con 
l'uno o coll’ altro dei due sistemi di valori di X e @ p. es. col primo (4, a), si trovi 
che una di queste due equazioni risulta integrabile col processo di Eulero per mezzo 
dell'uno c dell'altro di quei sistemi di valori di X e @, allora l'altra [delle stesse 
equazioni lo sarà pure cogli stessi valori di Z e «4 e collo stesso processo di Kulero, 
o con quello di Eulero-Laplace passando alla equazione che si ottiene colla prima 
trasformazione di Laplace; e quando il processo di integrazione di Eulero non sia 
immediatamente applicabile nè all'una nè all'altra di quelle equazioni, non è escluso 
che possa ancora applicarsi per l'una o per l’altra quello di Eulero-Laplace alla 
prima trasformazione o a una delle successive, come non è escluso che facendo il 
passaggio dalla equazione (59) alla (60) al sistema coniugato di valori delle % e @ 
sì giunga ancora a una equazione immediatamente integrabile col processo di Eulero ; 
e in ogni caso, integrata una di queste equazioni, si potrà ottenere subito anche 
l'integrale dell'altra dietro quanto si disse al $ 5. 
Queste circostanze speciali per le equazioni (59) a due variabili, per quanto 
molto notevoli per sè, possono evidentemente in alcuni casi togliere ai nostri processi 
una parte della loro importanza; però anche in questi casi delle equazioni di Eulero- 
Laplace a due variabili immediatamente integrabili essi hanno sempre il vantaggio 
di condurre da equazioni che sono subito integrabili coi processi di Eulero ad altre 
che sono integrabili tanto con lo stesso processo o con quello di Eulero-Laplace, 
quanto con quello da me segnalato al $ 5; mentre per altre equazioni pure di 
Eulero-Laplace a due variabili, come per le equazioni a più variabili e a coefficienti A,; 
non tutti costanti, possono i nostrì processi servire anche in casì nei quali le inte- 
grazioni coi processi di Eulero-Laplace non possono farsi certamente ($ 15). 
22. A fare risaltare sempre più l’importanza di questi studî, costruiremo ora 
effettivamente equazioni della forma (1) per le quali non sono affatto applicabili i 
processi di integrazione della Memoria precedente, mentre questi processi si appli- 
cano alle equazioni (43) che da esse derivano. 
Fermiamoci per semplicità al caso di tre variabili, e prendiamo due sistemi 
lerskx ks e @,0x,0 di valori delle 4 e « tali che non solo il determinante 
4= 0, — kz4,, ma anche l’altro 
k @& KA 
(70) ko a, K’.—- A, 
VESTO EIA 
3 
Vi 
nel quale K;= DI Ur Sea 
1 
dr 
3 
dA : Su: . . 
RIVA Dl, abbia valori diversi da zero; e sia 9 
1 r 
il valore di quest’ultimo determinante. Ciò avverrà per es. quando per le 4,, 42,03, 
li @ fe siano, prese quantità costanti, e 73 sia presa in modo che la quantità 
dE3 ds ds 9 
Ki3= a, —+ ad — + 43 abbia un valore diverso da zero che sarà -—. 
dA ul dI? ui dd3 d 

