24 MITTAG-LEFFLER, FÖLJDSATSER UR CAUCHYS THEOREM OM RÖTTER. 
närmar sig en ändlig och bestämd gräns, samtidigt med 
att qvantiteten z närmar sig gränsen zy. Denna förstnämda 
© R° & ö OO — 04 O 
gräns säges vara värdet af qvantiteten —— 1 punkten 
= 0) 
2, och kallas äfven derivatan af w i punkten 2. 
Denna sista definition bestämmer den mest karakteristiska 
egenskapen hos de funktioner, med hvilkas studium funktions- 
läran företrädesvis sysselsätter sig. 
Da w är en kontinuerlig funktion af z, är detsamma också 
fallet med qvantiteten: 
0) — 9 

9 
med undantag af punkten 2,, der denna qvantitet är obestämd. 
Oo . Kerle 5 MI 0) 
Var sista definition fordrar nu af qvantiteten ——, att den 
i 2, skall ha ett gränsvärde, och bestämmer detta gränsvärde 
till att vara dess värde i punkten 2. 
Vi ha ej tagit i betraktande de fall da w eller z bli oänd- 
liga. Det är ej svårt att uppvisa, hvilken betydelse det då är 
lämpligast att gifva at termerna kontinuitet och monogeneitet, 
men som studiet af oändlighetsvärden icke på något sätt inför 
nagon ny svårighet i de undersökningar vi bär meddela, ha vi, 
till vinnande af större enkelhet i var framställning, helt och 
hållet utelemnat all diskussion af dylika värden. 
Det märkvärdiga theorem af CAUCHY, ur hvilket vi vilja 
härleda ett par följdsatser, lyder för ensvariga och monogena 
funktioner: 
w = f(2) är inom ett visst område af z-planet en ensvarig 
och monogen funktion af 2. Om z mom detta område en gång 
2 positiv led beskrifver en sluten kontur, på hvilken inga rot- 
punkter till f(2) äro belägna, så ökas härigenom w:s argument 
med en multipel af 27 som är lika med summan af ordnings- 
talen för de rötter till w, hvilka äro belägna inom den af z 
beskrifna konturen. 
Vi ha då icke uttalat theoremet under allmännare form än 
den, hvaraf vi för var följande undersökning äro i behof. 
