ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1874, N:o 4. 25 
Den första följdsats, hvilken vi vilja härleda, lyder: 
Låt f(z,w) vara en funktion af z och w, hvilken är en- 
svarig och monogen funktion af 2, så snart z är belägen inom 
en sluten kontur i ett z-plan och m har ett värde, som bestämmer 
en punkt belägen inom en sluten kontur 1 ett w-plan, och hvilken 
likaledes är ensvarig och monogen funktion af w för alla punk- 
ter inom «w-konturen, så snart z har ett värde beläget inom z- 
konturen. | 
Antag vidare att I, w) icke för något af de angifna vär- 
dena på 2 är identiskt noll oberoende af w, och icke för något 
af de angifna värdena på w är identiskt noll oberoende af z. 
Låt a vara en punkt inom z-konturen och b en punkt inom 
w-konturen, sådana att 
(GO) = Di 
Tillfölje af de gjorda förutsättningarne kan funktionen 
fa, w), i hvilken a är en konstant och w ensam variabel, endast 
ha isolerade rotpunkter utaf ändligt ordningsnummer. 
Antag b vara en rotpunkt af ordningen n. «w betraktad 
såsom en funktion af 2, hvilken är definierad genom likheten: 
1@. DEU 
har då minst ett och högst n olika värden, hvilka konti- 
nuerligt sammanhänga med värdet b. 
Detta vigtiga theorem är väl för första gången, åtminstone 
under så allmän form, som vi här uttalat det, bevisadt af CAUCHY 
uti Exercices d Analyse, tredje delen. CAUCHYS bevis är dock 
temligen kompliceradt genom den användning af indice-kalkylen 
han gör vid detsamma. 
Beviset finnes under enklare form framstäldt utaf BRIOT et 
BovQuer i deras sednaste arbete »Théorie des functions ellip- 
tiques», men blott under den förutsättning att f(2, w) är ett helt 
algebraiskt polynom i afseende på z och i afseende på w. 
Det bevis, vi här vilja gifva, utgar från samma grundtanke 
som CAUCHYS, men är, som vi hoppas, befriadt från alla onödiga 
vidlyftigheter. 
