20 MITTAG-LEFFLER, FÖLJDSATSER UR CAUCHYS THEOREM OM RÖTTER. 
Emedan f(a,w) för w = b har en rot af ordningen n, kan 
man skrifva: 
(1) (a, 0) = (w—b).{K + ej, 
da X är en konstant, som beror endast af a och b, och eär en 
ensvarig funktion af w, som försvinner på samma gang, som «ww 
närmar sig till likhet med pb. 
Man kan nu alltid göra dimensionerna af en sluten kontur, 
hvilken man låter w— b beskrifva kring b, tillräckligt sma, för 
modylen till & hela tiden skall vara mindre än modylen till K. 
e är en ensvarig funktion af w, och saledes kommer argumentet 
till f(a,w) att ökas med n.27, da w— b en gang i positiv 
led öfverfar denna kontur. 
Inom den ofvannämde konturen har f(a,w) följaktligen en- 
dast rotpunkten af n:te ordningen »b. 
Emedan /(2,w) är en kontinuerlig funktion af 2, då cw be- 
traktas sasom konstant, kunna vi skrifva följande likhet, i hvilken 
w öfverallt är samma qvantitet, som i (1): 
(2) fe, w) = (w — db) (K + e) + a. | 
& är en ensvarig funktion af z och w, som, för hvarje värde 
pa w, försvinner, da z närmar sig a. 
Låt oss sätta: 
(3) & = Ilm ON ö 
Likheten (2) antager härigenom formen: 
(4) zo) = (vw — bY(K + ee +0). 
) är liksom &, en ensvarig funktion af z och w, som, för 
hvarje värde pa w, försvinner, da z närmar sig a. 
Lat oss nu at z ge ett värde, hvilket som heldst, som en- 
dast är underkastadt vilkoret att vara sa närbeläget a, att mo- 
dylen till e + d, för hvarje punkt pa den kring 5 beskrifna c- 
4 
konturen, är mindre än modylen till X. _ 
Tänkes nu z konstant bibehålla ett sadant värde, under det 
att w, sasom förut, en gang i positiv led beskrifva den b om- 
gifvande w-konturen, så kommer härigenom argumentet tlll f(2, w) 
'att ökas med n.2n. 
