28 MITTAG-LEFFLER, FÖLJDSATSER UR CAUCHYS THEOREM OM RÖTTER. 
utom 1 ett ändligt antal isolerade punkter, en monogen funk- 
tion af 2, samt. följande: 
Om 2 inom en viss w-kontur är ensvarig och monogen funktion 
af w, sä är (ww, inom den motsvariga z-konturen, öfverallt, utom i 
ett ändligt antal isolerade punkter en monogen funktion af z2. 
Vi öfverga nu till deduktionen af en annan följdsats ur 
CAUCHYS theorem om rötter. 
RIEMAN har i sitt storartade arbete öfver de Abelska 
transcendenterna grundat studiet af desamma på en föregående 
undersökning af de vilkor, hvilka äro nödvändiga och tillräckliga, 
för att en funktion skall vara fullständigt definierad. 
Han finner da, för att blott tala om det enklaste och mest 
karakteristiska fallet, att en funktion, som är ensvarig och mo- 
nogen för alla punkter på och inom en viss sluten kontur, är 
fullständigt definierad genom angifvandet af en kontinuerlig följd 
af värden, hvilka funktionens reela del bör innehafva på den 
gifna konturen samt genom angifvandet af ett värde, som funk- 
tionens imaginära del bör hafva inom konturen. 
Tvifvel ha emellertid på sednare tider ge mot giltig- 
heten af beviset för detta theorem. 
Theoremet innehåller, som man ser, två pastaenden, det ena 
att de angifna vilkoren ej fordra för mycket och det andra att 
de äro tillräckliga, sa att, a ena sidan, det verkligen alltid finnes 
en funktion, som uppfyller dessa och att, a den andra, det icke 
finnes mer än en enda. 
Det är mot bevisningen af den föregående delen af detta 
pastaende, som tvifien blifvit riktade, och man har frågat sig, 
huruvida verkligen den kontinuerliga följd af värden, som funk- 
tionens reela del bör hafva på den gifna konturen kan väljas 
fullkomligt godtyckligt. Hvad den sednare delen af theoremet 
angar, så beröres densamma icke af de framkastade tvifvels- 
målen, ty denna sednare del är lätt att bevisa genom en enkel 
fullkomligt elementär betraktelse, hvilken icke står i något be- 
roende af RIEMANS bevisföring och den af honom vid densamma 
använda Dirichletska principen. 
