ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1874, N:0 4. 29 
I sjelfva verket förefaller det ock, som om denna sednare 
del vore den vigtigaste, atminstone vid studiet af de Abelska 
transcendenterna, ty sedan man väl funnit de funktioner, hvilka 
satisfiera de angifna gränsvilkoren, kan det ej vidare vara nödigt 
att tvista om, huruvida dessa funktioner kunna konstrueras a 
priori eller ej, hvaremot det blir af största vigt att kunna visa, 
att inga andra funktioner af samma natur äro tänkbara, så att 
man kan vara säker derom, att den funna relationen verkligen 
är den allmännast möjliga. j 
Vi ha derföre föreställt oss, att det ej borde vara utan 
intresse, att, 1 olikhet med hvad som är fallet i RIEMANS arbete, 
söka skilja bevisningen af theoremets bada afdelningar och grunda 
härledningen af den sednare afdelningen pa ett enkelt resonne- 
mang, mot hvars fullständiga bevisningskraft icke någon befogad 
anmärkning torde kunna göras. 
Vi vilja således bevisa följande sats: 
Det finnes ej mer än en enda funktion af en oberoende 
variabel, hvilken uppfyller följande vilkor: 
1. Funktionen är ensvarig och monogen för alla punkter på 
och inom en viss sluten kontur. 
2. Funktionens reela del har i hvarje punkt på den gifna 
konturen ett visst bestämdt värde. 
3. Funktionens imaginära del har i en punkt, inom den 
gifna konturen, ett visst bestämdt värde. 
Af vilkoret (1) följer att de värden, som funktionens reela 
del skall antaga i de olika punkterna på konturen, måste vara 
ändliga och måste följa hvarandra kontinuerligt. Vidare följer 
att det värde, som funktionens imaginära del skall antaga i en 
punkt inom konturen måste vara ändligt. 
Antag nu att 
u + w=j(2) (5) 
är en funktion som uppfyller de tre ofvannämda vilkoren, Vi 
. vilja da bevisa, att hvarje annan funktion 
U+iV = NA (6), 
