30 MITTAG-LEFFLER, FÖLJDSATSER UR CAUCHYS THEOREM OM RÖTTER. 
hvilken uppfyller samma vilkor, ovilkorligen på och inom den 
gifna konturen identiskt sammanfaller med (5). 
Lat oss nu kalla, z,, den punkt, i hvilken » och V skola 
ha ett gemensamt bestämdt värde 
vo = VI 
och lat oss kalla värdena pa u och U i samma punkt uy och U. 
Följande funktion: 
(7) F(2)=F(2)— (2) —(U,-W) = U-u+i(V -v)—(U,-u,) 
är en ensvarie och monogen funktion af z. 
Dess reela del är, i hvarje punkt pa en gifna konturen, en 
konstant 
— (U, — ung). 
Antag först att denna konstant icke är noll. 
Om man då låter z en gång i positiv led öfverfara den 
gifna konturen, så kommer derunder funktionen (7) att röra sig 
fram och åter på en perpendikel mot grundriktningen, så att 
rörelsen börjar och slutar i samma punkt, samt hela tiden är 
kontinuerlig och bunden inom ändliga gränser. Denna perpen- 
dikel går ej heller genom origo. Argumentet till (7) måste der- 
före vara detsamma vid början och slutet af z:s rörelse. 
Men (7) har en rotpunkt i punkten z, och således måste, 
i följd af CAUCHYS theorem, argumentet till (7), vid den förut- 
satta rörelsen af z, ökas med ett helt antal positiva baghvarf, 
sa vida ej (7) pa och inom konturen är identiskt med noll. 
Denna sednare möjlighet är sålunda den enda som återstår 
och hvarje funktion, hvilken uppfyller sina tre vilkor samman- 
faller derföre identiskt med /(2). 
Detta bevis förutsätter att — (U, u,) har ett från noll 
skildt värde. 
Skulle dock ) 
— (Uj — up) = 0, 
är det ej svårt att återföra bevisningen för detta fall till den 
nu lemnade bevisningen för det föregående fallet. 
Man behöfver nemligen blott observera, att funktionen: 
F(2) + w 
