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ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ÖRDNUNG. 7 
der Ebene auf der Kugel sich doppelt abbildet (vor. $.), A von y in 
2 mPunkten geschnitten, welche paarweise einander gegenüber liegen. 
Gehen zwei Durchschnitte von 2 mit g in einen Berührungspunkt zu- 
sammen, so wird A von y in den zwei Gegenpunkten, welche die Pro- 
jectionen des Berührungspunktes sind, berührt. Und wenn mit zwei ein- 
ander unendlich nahen Punkten der Gurve Z noch ihr nächstfolgender 
dritter Punkt in einer Geraden g liegt, so dass die Curve an dieser Stelle 
eime Wendung macht, und die diesen drei Punkten nächst vorhergehen- 
den und folgenden Theile von l auf entgegengesetzten Seiten von 9 
liegen, so werden auch die dieser Stelle entsprechenden zwei Gegen- 
punkte auf der Kugel Wendepunkte in A} sein und y zur gemeinschaft- 
lichen Tangente haben. Auf gleiche Art wird jeder in 2 vorkommende 
Knoten oder Doppelpunkt, jede Spitze u. s. w. als ein Punkt von der 
nämlichen Beschaffenheit doppelt in A vorhanden seyn. 
Hieraus, und weil eine ebene Linie der nten Ordnung von einer in 
ihrer Ebene gezogenen Geraden in n, oder n—2, oder n—#, u. S. w. 
Punkten geschnitten wird, folgern wir: Eine sphärische Linie der nten 
Ordnung wird von einem Hauptkreise in 2n, oder 2" —4, oder 
2n— 8, u.s.w. Punkten geschnitten, welche paarweise einander gegen- 
über liegen; und so viel, als eine ebene Linie der nten Ordnung Wende- 
punkte oder andere merkwürdige Punkte haben kann, eben so viel Paare 
merkwürdiger Punkte *) von gleicher Beschaffenheit können einer sphä- 
rischen Linie der nten Ordnung zukommen. 
8. 6. 
Wie wir in $. %. sahen, ist auf der Kugel eine Linie der ersten 
Ordnung immer ein Hauptkreis, und eine Linie der zweiten Ordnung ein 
System zweier geschlossener Curven. Auf gleiche Art besteht nun auch 
jede sphärische Linie höherer Ordnung oder die sphärische Projeetion 
einer ebenen Linie höherer Ordnung aus einer, oder zwei, oder auch 
mehreren Curven, deren jede in sich zurückläuft. Um dieses zu zeigen, 
gehe ich von dem bekannten Satze aus, dass eine ebene algebraische 
Linie l an keiner endlichen Stelle ihres Laufs plötzlich abbricht. Sollte 
daher ihre sphärische Projection A irgendwo unterbrochen sein, so 
*) Unter einem Paare von Punkten auf der Kugel soll hier und im Folgenden 
immer nur ein Paar einander gegenüber liegender Punkte verstanden werden. 
