ÜBER DIE (GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 9 
zeigt sich aber besonders noch darin, dass man auf solche Weise, 
wenigstens bei den Linien der zweiten und der dritten Ordnung, die 
wesentlich verschiedenen Formen dieser Linien zu bestimmen im Stande 
ist, ohne etwas Anderes, als den Satz von der möglichen Anzahl der 
Durchschnitte einer sphärischen Linie mit einem Hauptkreise ($. 5.) be- 
rücksichtigen zu dürfen. Die folgende rein geometrische Discussion 
wird diese Behauptung rechtfertigen. 
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Von den Grundformen der algebraischen Linien überhaupt. 
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Nach 8. 6. ist eine sphärische Linie von irgend welcher Ordnung 
entweder eine einzige in sich zurücklaufende Curve, oder ein System 
von mehreren dergleichen. Weil, wenn P ein Punkt der sphärischen 
Linie ist, immer auch der Gegenpunkt von P in der Linie liegt, so 
werden die verschiedenen das System bildenden Curven in der Regel 
paarweise, als Curve und Gegencurve, zusammengehören. Indessen 
kann es auch geschehen, dass eine der Curven mit ihrer Gegencurve 
coincidiert, wie dies z. B. bei einem Hauptkreise der Fall ist. Eine 
solche in sich zurücklaufende Curve, welche von jedem ihrer Punkte 
den Gegenpunkt mit enthält, werde eine einfache Gurve genannt. 
Dagegen wollen wir eine geschlossene sphärische Curve, welche von 
ihrer Gegencurve verschieden ist, in Verbindung mit letzterer gedacht, 
eine Zwillingscurve nennen. Beispiel einer solchen ist das System 
der beiden Polarkreise der Erdkugel. 
8.9. 
Aus dem jetzt aufgestellten Begriffe einer einfachen Curve ergeben 
sich unmittelbar nachstehende Eigenschaften derselben : 
1) Sind A, B, C,... Punkte einer einfachen Curve, und werden, 
wie dies in der Folge immer geschehen soll, die Gegenpunkte von andern 
durch die nämlichen, nur accentuierten, Buchstaben bezeichnet, so liegen 
auch A’, B’, C’,.... in der Curve. Dabei sind die Theile der Curve von 
A bis B, von B bis (C, u. s. w. resp. denen von A’ bis B’, von B’ bis €’, 
u. s.w. gleich und ähnlich, können aber mit letztern nicht zur Deckung 
gebracht werden, eben so wenig, als ein sphärisches Dreieck mit seinem 
