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Gegendreiecke. Ist daher A irgend ein merkwürdiger Punkt der Curve, 
so ist A’ ein merkwürdiger Punkt von derselben Beschaffenheit. 
2) Eine einfache Curve wird durch jedes Paar in ihr liegender 
Gegenpunkte in zwei einander gleiche und ähnliche, aber nicht con- 
gruirende Hälften getheilt. Dabei stehen die Theile einer und derselben 
Hälfte in keiner aus dem Begriffe einer einfachen Curve folgenden 
gegenseitigen Abhängigkeit. Um daher eine solche zu bilden, lasse man 
einen Punkt von irgend einem Punkte A der Kugelfläche auf dieser auf 
beliebigem Wege bis A’ fortgehen, — nur dass, wenn A und A keine 
Ecken oder Spitzen der Curve werden sollen, die Richtungen der Be- 
wegung beim Fortgange von A und beim Eintreffen in A’ einander direct 
entgegengesetzt sind. — Hiermit ist die eine Hälfte der einfachen Curve 
construiert, und man‘hat, um die ganze zu erhalten, zu dieser Hälfte nur 
noch die Gegencurve hinzuzufügen. 
3) Sind auf einer Kugelfläche eine einfache Curve und ein Haupt- 
kreis verzeichnet, so liegen irgend zwei Gegenpunkte der Curve, wenn 
sie nicht Punkte des Kreises selbst sind, auf entgegengesetzten Seiten 
desselben. Hieraus aber und aus der geschlossenen Gestalt beider Linien 
ist weiter zu folgern, dass eine einfache Curve und ein Hauptkreis 
wenigstens ein Paar Gegenpunkte gemein haben müssen. 
4) Stellen wir uns vor, dass ein von A aus in der Curve fortgehen- 
der Punkt, ehe er darin bis A’ gelangt, den Curvenpunkten B, C,D,...M 
der Reihe nach begegnet, und daher auf der zweiten Hälfte seines Weges 
von A’ bis A die Punkte B’, €’, D’,...M’ in derselben Ordnung trifft. 
Nehmen wir ferner an, dass die genannten Punkte, und ausser ihnen 
keine andern, die Durchgangspunkte eines Hauptkreises u mit der Curve 
sind. Alsdann werden, wenn wir uns, um die Ideen zu fixieren, den 
Hauptkreis « horizontal denken, und wenn der Gurvenbogen AB über u, 
folglich BC unter u, ED über w, und so fort liegt, die Curvenbögen 
AB’, B’C’, C’D’, u.s.w. abwechselnd unter und über wu fallen. 
Damit aber der Bogen A’B’ unter « fallen kann, muss der nächstvor- 
hergehende MA’, eben so wie AB selbst, über u liegen. Dieses ist 
offenbar nicht anders möglich, als wenn die Anzahl der zwischen A und 
A’ begriffenen Durchgangspunkte B,...M gerade, — 2m, Null mit ein- 
begriffen, ist. Hiernach ist die Anzahl aller Durchgangspunkte 
A; Br 6,2. M; Ar BROEM: 
— AH Am + en ==.2 (1 +2 m}: 
