ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. iR 
Eine einfache Curve wird demnach von einem Haupt- 
kreise in einem, oder in drei, oder fünf, u.s.w., überhaupt 
in einer ungeraden Zahl Paare von Gegenpunkten durch- 
gangen. 
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Berührt ein Hauptkreis u eine einfache Curve in einem Punkte A, 
so berührt er sie auch im Gegenpunkte A’ des erstern. Sei A kein 
merkwürdiger Punkt der Curve, und liegen daher ihr dem A nächstvor- 
hergehender Theil ZA (Fig. 1.) und ihr nächstfolgender Theil AB auf 
einerlei Seite von u. Alsdann werden auch die Curvenbögen Z’A' und 
A’B’ auf einerlei Seite von u liegen, aber auf der entgegengesetzten 
von derjenigen, auf welcher ZA und AB sind. Weil die Bögen ZAB 
und Z’A’B’ ihre erhabenen Seiten dem Hauptkreise u zukehren und 
auf verschiedenen Seiten desselben liegen, so wird einem auf der Kugel- 
fläche in der Curve von A aus nach B zu und dann weiter durch Z’, A’, B’ 
Fortgehenden und zuletzt durch Z nach A Zurückkehrenden, wenn ihm 
Anfangs bei A der Hauptkreis « und damit die erhabene Seite der Curve 
zur Linken war, auf seinem sphärischen Wege bei A’ der Hauptkreis 
und damit die erhabene Seite der Curve zur Rechten liegen. Er muss 
folglich auf dem Wege von A bis A’ wenigstens durch einen, oder auch 
durch drei, oder fünf u. s.w. Punkte gegangen sein, in denen die Seite 
der Curve, welche vorher erhaben war, hohl wird, und umgekehrt, 
d.i. durch eine ungerade Anzahl von Wendepunkten; und da ebensoviel 
solcher Punkte von A’ bis A liegen müssen, so folgern wir: 
Eine einfache Curve hat immer eine ungerade An- 
zahl von Paaren einander gegenüber liegender Wende- 
punkte. 
“ Sie kann aber — so lange wenigstens, als keine Knoten und 
Spitzen zugelassen werden — nicht bloss Ein Paar haben. Denn ge- 
setzt, es wären die Punkte W und W’ einer solchen Curve, durch 
welche sie in die zwei Hälften w und w’ getheilt werde, ihr einziges 
Paar Wendepunkte. Da ein Curvenpunkt W (oder W’) erst durch Ver- 
gleichung der Krümmungen des vorangehenden und des folgenden 
Theils der Curve, nicht aus einem derselben allein, als Wendepunkt 
erkannt wird, so würde sich alsdann von einem Punkte W der Kugel- 
fläche bis zu seinem Gegenpunkte W’ eine Curve w (oder w’) ohne alle 
