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merkwürdige Punkte ziehen lassen, — welches nicht möglich ist *). — 
Deshalb und zu Folge des obigen Satzes muss eine einfache 
Curve, in welcher keine Knoten oder Spitzen vorkommen, 
wenigstens drei Paare von Wendepunkten haben. 
Dass aber einfache Gurven ohne Knoten und Spitzen mit dieser 
geringen Anzahl (sechs) von Wendepunkten auch wirklich existiren, er- 
hellet aus folgendem einfachen Beispiele. — Man theile einen Haupt- 
kreis in sechs gleiche Theile und beschreibe vom ersten Theilpunkte bis 
zum zweiten, vom zweiten bis zum dritten u. s. w. und zuletzt vom 
sechsten bis zum ersten abwechselnd auf die eine und die andere Seite 
des Hauptkreises fallende Bögen eines und desselben kleineren Kreises, 
deren jeder kleiner als ein Halbkreis sein mag. Diese sechs Bögen 
werden daher einander gleich sein und eine geschlossene Curve ohne 
Knoten und Spitzen bilden, welche die sechs Theilpunkte zu Wende- 
punkten hat. Zudem wird die Curve eine einfache sein, da der erste 
Bogen dem vierten, der zweite dem fünften und der dritte dem sechsten 
diametral gegenüber liegt. 
*) Um sich von dieser Unmöglichkeit zu überzeugen, denke man sich auf der Kugel- 
fläche von einem Punkte A derselben bis zu seinem Gegenpunkte A’ eine von einem 
Halbkreise verschiedene Curve, welche keine Spitzen oder Ecken hat, gezogen. Der 
dem A zunächst liegende Theil dieser Curve wird dem A seine hohle Seite zukehren, 
d.h. von einem durch A und irgend einen der nächstfolgenden Curvenpunkte, er 
heisse B, gelegten Hauptkreise wird der Bogen AB, welcher kleiner als ein Halbkreis 
ist, mit seinem bei B an die Curve stossenden Elemente auf der hohlen Seite der Curve 
liegen; und eben so wird der dem 4’ nächstliegende Theil der Curve gegen A’ hohl, folg- 
lich gegen A erhaben sein. Indem man daher von A bis A’ in der Curve fortgeht, wird 
man nothwendig auf einen Punkt ( treffen, wo die bis dahin gegen A hohle Curve gegen A 
erhaben zu werden anfängt. Es muss folglich © entweder ein Wendepunkt sein, oder 
es muss, wenn C ein gewöhnlicher Curvenpunkt ist, der in ihm die Curve berührende 
Hauptkreis, ehe er noch von C aus nach der Richtung des Fortgangs der Curve bis zu 
einem Halbkreise angewachsen ist, den Punkt A treffen (Fig. 2.). Im letztern Falle ist 
der auf C nächstfolgende Theil der Curve innerhalb des vom Curvenbogen ABC und 
vom Kreisbogen 0A begrenzten, den Punkt A’ ausschliessenden Raumes der Kugel- 
fläche enthalten, und es muss daher die Curve, um in ihrem weitern Fortgange nach 4’ 
zu gelangen, entweder den von ihr schon zurückgelegten Theil ABC oder den Kreis- 
bogen © A irgendwo durchschneiden. Letzteres ist aber ersichtlich nicht möglich, ohne 
noch vor dem Durchschnitte mit CA eine Wendung zu machen. Mithin ist es auch 
nicht möglich, von A bis A’ eine von einem Halbkreise verschiedene Curve zu ziehen, 
welche keine Spitze oder Ecke, keinen Wendepunkt, oder keinen Durchschnitt mit sich 
selbst, also überhaupt keinen merkwürdigen Punkt hat. 
